Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением предела функции. Напомним, что предел функции f(x) при x, стремящемся к a, равен A, если для любого ε > 0 существует δ1 > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - a| < δ1, выполняется неравенство |f(x) - A| < ε. Аналогично, для функции g(x) и предела B мы имеем: предел g(x) при x, стремящемся к a, равен B, если для любого ε > 0 существует δ2 > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих 0 < |x - a| < δ2, выполняется |g(x) - B| < ε.

Теперь, поскольку A > B, мы можем выбрать ε таким образом, чтобы оно было меньше, чем (A - B)/2. То есть, пусть ε = (A - B)/2.

1. Согласно определению предела для функции f(x), существует δ1 > 0, такое что для всех x, удовлетворяющих 0 < |x - a| < δ1, выполняется:
• |f(x) - A| < (A - B)/2.
2. Аналогично, для функции g(x) существует δ2 > 0, такое что для всех x, удовлетворяющих 0 < |x - a| < δ2, выполняется:
• |g(x) - B| < (A - B)/2.

Теперь выберем δ = min(δ1, δ2). Тогда для всех x, удовлетворяющих 0 < |x - a| < δ, выполняются оба условия:

• |f(x) - A| < (A - B)/2,
• |g(x) - B| < (A - B)/2.

Теперь мы можем выразить f(x) и g(x) через A и B:

Из первого неравенства:

f(x) > A - (A - B)/2 = (A + B)/2.

Из второго неравенства:

g(x) < B + (A - B)/2 = (A + B)/2.

Таким образом, для всех x, удовлетворяющих 0 < |x - a| < δ, мы имеем:

f(x) > (A + B)/2 > (A + B)/2 > g(x).

Это и доказывает, что в проколотой окрестности точки a для всех значений x выполняется неравенство f(x) > g(x). Таким образом, мы завершили доказательство.