Докажите, что нельзя с помощью формулы 4^n + n^4 получить простое число, если n больше 1.

Алгебра 11 класс Доказательства в теории чисел алгебра 11 класс формула 4^n + n^4 простое число доказательство n больше 1 Новый

Чтобы доказать, что выражение 4^n + n^4 не может быть простым числом при n > 1, рассмотрим несколько шагов:

1. Рассмотрим выражение 4^n + n^4. Мы можем переписать 4^n как (2^n)^2. Таким образом, выражение принимает вид: (2^n)^2 + n^4.
2. Проверим выражение для нескольких значений n.
   • Для n = 2: 4^2 + 2^4 = 16 + 16 = 32, которое не является простым числом.
   • Для n = 3: 4^3 + 3^4 = 64 + 81 = 145, которое также не является простым числом.
   • Для n = 4: 4^4 + 4^4 = 256 + 256 = 512, также не простое число.
3. Рассмотрим общее свойство выражения. Обратите внимание, что 4^n всегда четно, так как это степень четного числа 4. n^4 будет четным, если n четное, и нечетным, если n нечетное.
4. Случай 1: n четное. Если n четное, то n^4 также четное, и сумма 4^n + n^4 будет четным числом. Единственное четное простое число - это 2, но при n > 1 сумма будет больше 2, следовательно, не может быть простым числом.
5. Случай 2: n нечетное. Если n нечетное, то n^4 будет нечетным, и сумма 4^n (четное) + n^4 (нечетное) будет нечетной. Однако, давайте рассмотрим выражение по модулю 5:
   • 4^n по модулю 5: 4^1 ≡ 4, 4^2 ≡ 1, 4^3 ≡ 4, 4^4 ≡ 1 (по модулю 5). Таким образом, 4^n будет равен 4, если n нечетное, и 1, если n четное.
   • n^4 по модулю 5: n^4 ≡ 0, 1, 1, 1, 1 (по модулю 5) в зависимости от n.
   В случае, если n нечетное, n^4 будет 1 по модулю 5. Таким образом, 4^n + n^4 будет равно 4 + 1 = 5, что является простым числом. Однако, это происходит только для n = 1, что противоречит условию n > 1.

Таким образом, мы доказали, что для n > 1 выражение 4^n + n^4 не может быть простым числом, поскольку для четных n сумма будет четной и больше 2, а для нечетных n сумма не может быть простым числом, кроме случая n = 1.