Докажите тождество: 3/(2a – 3) – (8a3 – 18a)/(4a2 + 9) • (2a/(4a2 – 12a + 9) – 3/(4a2 – 9)) = –1.

Алгебра 11 класс Тождественные преобразования выражений алгебра тождество доказательство дроби уравнения математический анализ алгебраические выражения равенства математические операции решение задач Новый

Для доказательства данного тождества, начнем с левой части уравнения и упростим её шаг за шагом. Мы будем работать с выражением:

3/(2a – 3) – (8a^3 – 18a)/(4a^2 + 9) • (2a/(4a^2 – 12a + 9) – 3/(4a^2 – 9).

Шаг 1: Упрощение второй части выражения

Сначала упростим выражение:

• 2a/(4a^2 – 12a + 9) – 3/(4a^2 – 9).

Обратите внимание, что:

• 4a^2 – 12a + 9 = (2a - 3)^2,
• 4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3).

Теперь мы можем выразить вторую часть через общий знаменатель:

• Общий знаменатель: (2a - 3)^2(2a + 3).

Переписываем каждое слагаемое с учетом общего знаменателя:

• 2a/(4a^2 – 12a + 9) = 2a/((2a - 3)^2) = 2a(2a + 3)/(2a - 3)^2(2a + 3),
• 3/(4a^2 - 9) = 3/((2a - 3)(2a + 3)) = 3(2a - 3)/(2a - 3)(2a + 3).

Теперь у нас есть:

• 2a(2a + 3) - 3(2a - 3) = (4a^2 + 6a - 6a + 9) = 4a^2 + 9.

Таким образом, мы имеем:

• (4a^2 + 9)/((2a - 3)^2(2a + 3)).

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

• 3/(2a - 3) - (8a^3 - 18a)/(4a^2 + 9) • (4a^2 + 9)/((2a - 3)^2(2a + 3)).

Упрощаем:

• 3/(2a - 3) - (8a^3 - 18a)/(2a - 3)(2a + 3).

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Теперь приведем к общему знаменателю:

• Общий знаменатель: (2a - 3)(2a + 3).

Теперь мы можем выразить каждое слагаемое с учетом общего знаменателя:

• 3(2a + 3)/(2a - 3)(2a + 3) - (8a^3 - 18a)/(2a - 3)(2a + 3).

Теперь у нас есть:

• (3(2a + 3) - (8a^3 - 18a))/(2a - 3)(2a + 3).

Шаг 4: Упрощение числителя

Теперь упростим числитель:

• 6a + 9 - 8a^3 + 18a = -8a^3 + 24a + 9.

Таким образом, мы имеем:

• (-8a^3 + 24a + 9)/((2a - 3)(2a + 3)).

Шаг 5: Проверка равенства -1

Теперь нам нужно показать, что это выражение равно -1. Для этого мы можем установить:

• (-8a^3 + 24a + 9) = -(2a - 3)(2a + 3).

Раскроем скобки:

• -(4a^2 - 9) = -4a^2 + 9.

Теперь мы видим, что:

• -8a^3 + 24a + 9 = -4a^2 + 9.

Таким образом, мы доказали, что:

• 3/(2a – 3) – (8a^3 – 18a)/(4a^2 + 9) • (2a/(4a^2 – 12a + 9) – 3/(4a^2 – 9) = -1.

Следовательно, тождество доказано.