Чтобы определить, сколько из 500 дробей в последовательности являются несократимыми, нам нужно понять, что дробь a/b является несократимой, если и только если наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен 1, то есть gcd(a, b) = 1.

В нашей последовательности дроби имеют вид:

• Числитель: 2n (где n = 1, 2, ..., 500)
• Знаменатель: 2n + 7

Теперь мы можем записать дробь в общем виде:

Дробь: 2n / (2n + 7)

Для того чтобы дробь была несократимой, должно выполняться условие:

gcd(2n, 2n + 7) = 1

Используя свойство НОД, мы можем записать:

gcd(2n, 2n + 7) = gcd(2n, 7)

Это означает, что дробь будет несократимой, если 2n и 7 не имеют общих делителей, то есть:

• 2n должно быть не кратно 7.

Теперь мы можем найти, при каких значениях n дробь 2n будет кратна 7. Поскольку 2n кратно 7, n должен быть кратен 7/2, что не является целым числом. Поэтому мы ищем целые значения n, которые не дают остатка при делении на 7:

Нам нужно найти количество n от 1 до 500, которые не делятся на 7. Всего значений n от 1 до 500 - это 500.

Теперь найдем количество значений n, которые делятся на 7:

• Максимальное n, которое делится на 7 в диапазоне от 1 до 500, это 497 (7 * 71).
• Минимальное n, которое делится на 7, это 7 (7 * 1).
• Количество таких n: 71 (поскольку 7, 14, 21, ..., 497 - это 71 число).

Таким образом, количество n, которые не делятся на 7:

500 - 71 = 429

Таким образом, количество несократимых дробей в данной последовательности составляет 429.