Чтобы исследовать функцию f(x) = (3^x - 1) / (3^x + 1) на четность или нечетность, нам нужно проверить, выполняется ли одно из следующих условий:

• f(-x) = f(x) для четной функции,
• f(-x) = -f(x) для нечетной функции.

Теперь вычислим f(-x):

1. Подставим -x в функцию:
2. f(-x) = (3^(-x) - 1) / (3^(-x) + 1).
3. Теперь упростим 3^(-x): это равно 1 / 3^x, поэтому:
4. f(-x) = ((1 / 3^x) - 1) / ((1 / 3^x) + 1).

Теперь найдем общий знаменатель для числителя и знаменателя:

1. Числитель: (1 - 3^x) / 3^x.
2. Знаменатель: (1 + 3^x) / 3^x.

Таким образом, f(-x) можно записать как:

f(-x) = ((1 - 3^x) / 3^x) / ((1 + 3^x) / 3^x) = (1 - 3^x) / (1 + 3^x).

Теперь сравним f(-x) с -f(x):

1. Вычислим -f(x):
2. -f(x) = -((3^x - 1) / (3^x + 1)) = -(3^x - 1) / (3^x + 1) = (1 - 3^x) / (3^x + 1).

Теперь сравним f(-x) и -f(x):

f(-x) = (1 - 3^x) / (1 + 3^x)

-f(x) = (1 - 3^x) / (3^x + 1)

Мы видим, что числители у обеих функций совпадают, но знаменатели разные:

Знаменатель f(-x) равен (1 + 3^x), а знаменатель -f(x) равен (3^x + 1). Эти два выражения равны, так как (1 + 3^x) = (3^x + 1).

Таким образом, мы можем заключить, что:

f(-x) = -f(x).

Следовательно, функция f(x) является нечетной.

Ответ: Функция f(x) = (3^x - 1) / (3^x + 1) является нечетной.