Чтобы найти значение tg(α - π/3), воспользуемся формулой тангенса разности углов:

tg(α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α * tg β)

В нашем случае α - это угол, для которого мы знаем косинус, а β = π/3. Сначала найдем tg α, используя известное значение cos α.

Мы знаем, что:

• cos α = 3/5

Для нахождения sin α используем основное тригонометрическое тождество:

sin² α + cos² α = 1

Подставим значение cos α:

sin² α + (3/5)² = 1

sin² α + 9/25 = 1

Теперь вычтем 9/25 из обеих сторон:

sin² α = 1 - 9/25

sin² α = 25/25 - 9/25

sin² α = 16/25

Теперь найдем sin α, учитывая, что α находится в первом квадранте (где синус положителен):

sin α = √(16/25) = 4/5

Теперь у нас есть значения для sin α и cos α:

• sin α = 4/5
• cos α = 3/5

Теперь можем найти tg α:

tg α = sin α / cos α = (4/5) / (3/5) = 4/3

Теперь найдем tg(π/3):

tg(π/3) = √3

Теперь подставим значения в формулу для tg(α - π/3):

tg(α - π/3) = (tg α - tg(π/3)) / (1 + tg α * tg(π/3))

tg(α - π/3) = (4/3 - √3) / (1 + (4/3) * √3)

Теперь упростим выражение:

В числителе:

4/3 - √3

В знаменателе:

1 + (4√3)/3 = (3 + 4√3)/3

Теперь мы можем записать tg(α - π/3) в более удобной форме:

tg(α - π/3) = (4/3 - √3) * (3/(3 + 4√3))

Таким образом, окончательный ответ:

tg(α - π/3) = (4 - 3√3) / (3 + 4√3)