Как можно исследовать функцию y = (4x)/(1 - x ^ 2) и построить ее график?

Срочно!!

Нужны правильное решение и график.

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков исследование функции график функции алгебра 11 класс y = (4x)/(1 - x^2) построение графика анализ функции математический анализ функции и графики Новый

Для исследования функции y = (4x)/(1 - x^2) и построения ее графика, мы будем следовать нескольким шагам:

1. Определение области определения функции:

Функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю. То есть:

• 1 - x^2 ≠ 0

Решим это неравенство:

• x^2 ≠ 1
• x ≠ ±1

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 1 и x ≠ -1.

2. Нахождение вертикальных асимптот:

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где функция не определена и стремится к бесконечности. В нашем случае это происходит при:

• x = 1
• x = -1

3. Нахождение горизонтальных асимптот:

Для нахождения горизонтальных асимптот, мы исследуем поведение функции при x стремящемся к бесконечности:

• lim (x → ∞) (4x)/(1 - x^2) = lim (x → ∞) (4)/(1/x - x) = 0
• lim (x → -∞) (4x)/(1 - x^2) = lim (x → -∞) (4)/(1/x - x) = 0

Таким образом, горизонтальная асимптота y = 0.

4. Нахождение производной:

Находим производную функции для определения критических точек и анализа поведения функции:

y' = (4(1 - x^2) - 4x(-2x)) / (1 - x^2)^2 = (4 - 4x^2 + 8x^2) / (1 - x^2)^2 = (4 + 4x^2) / (1 - x^2)^2.

Приравниваем производную к нулю:

• 4 + 4x^2 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как 4 + 4x^2 всегда больше нуля. Следовательно, функция не имеет критических точек.

5. Исследование знака функции:

Теперь определим знак функции на интервалах:

• На интервале (-∞, -1): y > 0
• На интервале (-1, 1): y < 0
• На интервале (1, ∞): y > 0

6. Построение графика:

Теперь, имея всю информацию, мы можем построить график функции:

• Вертикальные асимптоты в x = -1 и x = 1.
• Горизонтальная асимптота y = 0.
• Функция положительна на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞) и отрицательна на интервале (-1, 1).

Таким образом, график будет выглядеть следующим образом:

При x = -1 функция стремится к +∞, при x = 1 - к -∞. При x = -1 и x = 1 функция не определена, что подтверждает наличие вертикальных асимптот.

Вы можете использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графика на основании вышеуказанных данных.