Как можно найти значение p, если вершина параболы, которая является графиком функции f(x)=x²+px+q, принадлежит графику функции q(x)=x²+qx+p, и при этом числа p и q различны?

Алгебра 11 класс Вершина параболы и свойства квадратичной функции значение p вершина параболы график функции f(x)=x²+px+q q(x)=x²+qx+p числа p и q алгебра 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что нам нужно определить координаты вершины параболы, заданной функцией f(x) = x² + px + q. Вершина параболы для функции f(x) = ax² + bx + c находится по формуле:

x_в = -b/(2a)

В нашем случае a = 1, b = p, и c = q. Подставим эти значения в формулу:

x_в = -p/(2*1) = -p/2

Теперь найдем значение функции f в этой точке:

y_в = f(-p/2) = (-p/2)² + p(-p/2) + q

Раскроем скобки:

y_в = p²/4 - p²/2 + q = p²/4 - 2p²/4 + q = -p²/4 + q

Таким образом, координаты вершины параболы f равны:

• x_в = -p/2
• y_в = -p²/4 + q

Теперь, так как вершина параболы f принадлежит графику функции q(x) = x² + qx + p, подставим x = -p/2 в функцию q:

y_в = q(-p/2) = (-p/2)² + q(-p/2) + p

Раскроем скобки:

y_в = p²/4 - qp/2 + p

Теперь у нас есть два выражения для y_в:

• Из f(x): y_в = -p²/4 + q
• Из q(x): y_в = p²/4 - qp/2 + p

Приравняем эти два выражения:

-p²/4 + q = p²/4 - qp/2 + p

Переносим все члены в одну сторону:

0 = p²/4 + qp/2 - p - q - p²/4

Упрощаем:

0 = qp/2 - p - q

Теперь выразим q через p:

qp/2 = p + q

Перепишем это уравнение:

qp/2 - q = p

Факторизуем по q:

q(p/2 - 1) = p

Теперь, чтобы выразить q, делим обе стороны на (p/2 - 1), при условии, что p/2 - 1 ≠ 0 (то есть p ≠ 2):

q = 2p/(p - 2)

Теперь у нас есть зависимость между p и q. Мы знаем, что p и q различны, поэтому мы можем подставить q обратно в уравнение и решить его для p. Однако, чтобы избежать сложных расчетов, мы можем подставить различные значения p и находить соответствующие q, проверяя условие различия.

Таким образом, мы нашли выражение для q через p, и теперь можем подбирать такие значения p и q, которые удовлетворяют условию задачи.

1 2 3 4 5