Как можно определить наибольшее и наименьшее значения функции y=2x+1/x^2?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции определение экстремумов алгебра 11 класс функции и графики Новый

Для определения наибольшего и наименьшего значений функции y = 2x + 1/x² нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Найти производную функции.

Сначала найдем производную функции y. Для этого используем правило дифференцирования.

Функция y = 2x + 1/x² можно переписать как y = 2x + x^(-2).

Теперь найдем производную:

• Производная от 2x равна 2.
• Производная от x^(-2) равна -2x^(-3) или -2/x³.

Таким образом, производная функции y будет:

y' = 2 - 2/x³.

Шаг 2: Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Установим производную равной нулю:

2 - 2/x³ = 0.

Решим это уравнение:

• 2 = 2/x³.
• 1 = 1/x³.
• x³ = 1.
• x = 1.

Также обратим внимание, что производная не определена при x = 0, но в данной функции это значение не допустимо, так как x не может быть равен нулю (появляется деление на ноль).

Шаг 3: Определить интервалы возрастания и убывания.

Теперь необходимо проанализировать знаки производной на интервалах, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

• Для x < 1: выбираем, например, x = 0.5:
  • y' = 2 - 2/(0.5)³ = 2 - 16 = -14 (отрицательно).
• Для x > 1: выбираем, например, x = 2:
  • y' = 2 - 2/(2)³ = 2 - 0.25 = 1.75 (положительно).

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, +∞).

Шаг 4: Найти значение функции в критической точке.

Теперь найдем значение функции в критической точке x = 1:

y(1) = 2(1) + 1/(1)² = 2 + 1 = 3.

Шаг 5: Определить наибольшее и наименьшее значения.

Мы видим, что функция убывает до точки x = 1 и возрастает после. Это значит, что:

• Наименьшее значение функции достигается в точке x = 1 и равно 3.
• Наибольшее значение функции не ограничено, так как при x стремящемся к бесконечности y также стремится к бесконечности.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 2x + 1/x² равно 3, а наибольшее значение не ограничено.