Как можно определить площади пересечения графиков уравнений y²=4x и 4y=x, используя интегралы?

Алгебра 11 класс Площади фигур, ограниченных графиками функций площади пересечения графиков уравнения y²=4x уравнение 4y=x интегралы в алгебре определение площадей интеграла Новый

Чтобы определить площади пересечения графиков уравнений y²=4x и 4y=x, нам сначала нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Это можно сделать, подставив одно уравнение в другое.

Шаг 1: Найдем точки пересечения.

Первое уравнение: y² = 4x.

Второе уравнение: 4y = x, что можно переписать как y = x/4.

Теперь подставим y из второго уравнения в первое:

• Подставляем: (x/4)² = 4x.
• Упрощаем: x²/16 = 4x.
• Умножаем обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби: x² = 64x.
• Переносим все в одну сторону: x² - 64x = 0.
• Факторизуем: x(x - 64) = 0.

Таким образом, мы получаем два значения для x: x = 0 и x = 64. Теперь найдем соответствующие значения y.

• Для x = 0: y = 0/4 = 0, точка (0, 0).
• Для x = 64: y = 64/4 = 16, точка (64, 16).

Таким образом, точки пересечения: (0, 0) и (64, 16).

Шаг 2: Определим площадь между графиками.

Теперь мы знаем, что графики пересекаются в точках (0, 0) и (64, 16). Площадь между графиками можно найти с помощью интегралов. Для этого нужно определить, какая функция находится выше, а какая ниже в пределах этих точек.

Функция y² = 4x, преобразуем в y = 2√x (верхняя ветвь параболы), а функция 4y = x преобразуется в y = x/4 (прямая).

Теперь мы можем записать интеграл для нахождения площади:

Площадь S будет равна:

• S = ∫ от 0 до 64 (2√x - x/4) dx.

Шаг 3: Вычислим интеграл.

Рассмотрим интеграл:

• ∫ (2√x - x/4) dx = ∫ 2x^(1/2) dx - ∫ (1/4)x dx.

Теперь вычислим каждый из этих интегралов:

• ∫ 2x^(1/2) dx = (2 * (2/3)x^(3/2)) = (4/3)x^(3/2).
• ∫ (1/4)x dx = (1/4) * (1/2)x² = (1/8)x².

Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до 64:

• Площадь S = [(4/3)(64)^(3/2) - (1/8)(64)²] - [(4/3)(0) - (1/8)(0)]

Вычисляем:

• (64)^(3/2) = 64 * 8 = 512, следовательно, (4/3)(512) = 2048/3.
• (64)² = 4096, следовательно, (1/8)(4096) = 512.

Теперь подставим значения:

• S = (2048/3) - 512 = (2048/3) - (1536/3) = (512/3).

Ответ: Площадь между графиками уравнений y²=4x и 4y=x равна 512/3 квадратных единиц.