Как можно определить предел функции:

lim (x → 0) (√3(9 - x) - 9) / x

с полным решением?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел функции lim (x → 0) √3(9 - x) - 9 полное решение предела алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить предел функции lim (x → 0) (√3(9 - x) - 9) / x, мы будем следовать пошаговому процессу. Начнем с подстановки значения x = 0 в числитель и знаменатель.

Шаг 1: Подстановка x = 0

• Подставим x = 0 в числитель: √3(9 - 0) - 9 = √3 * 9 - 9 = 9√3 - 9.
• Знаменатель при x = 0 равен 0.

Таким образом, мы получаем неопределенность вида 0/0. Это значит, что нам нужно использовать другие методы для нахождения предела.

Шаг 2: Применение разложения

Мы можем воспользоваться разложением функции в ряд Тейлора или же преобразовать выражение в более удобный вид. Давайте упростим числитель:

Рассмотрим числитель: √3(9 - x) - 9.

• Мы можем вынести 9 за скобки: √3(9 - x) = 9√3 - √3x.
• Тогда числитель можно записать как: (9√3 - √3x) - 9 = 9√3 - 9 - √3x = 9(√3 - 1) - √3x.

Теперь подставим это обратно в предел:

lim (x → 0) (9(√3 - 1) - √3x) / x.

Шаг 3: Разделим на x

Теперь мы можем разделить каждую часть числителя на x:

lim (x → 0) [9(√3 - 1)/x - √3].

Теперь мы видим, что при x → 0, первая часть 9(√3 - 1)/x будет стремиться к бесконечности, если √3 - 1 не равно 0. Но так как √3 - 1 не равно 0, мы можем использовать правило Лопиталя.

Шаг 4: Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя гласит, что если мы имеем неопределенность вида 0/0, мы можем взять производные числителя и знаменателя:

• Числитель: d(√3(9 - x) - 9)/dx = -√3.
• Знаменатель: d(x)/dx = 1.

Теперь применим правило Лопиталя:

lim (x → 0) -√3 / 1 = -√3.

Ответ: Предел функции lim (x → 0) (√3(9 - x) - 9) / x равен -√3.