Как можно определить точку минимума функции у=(х^2-8х+8)e^6-x?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций определение точки минимума функция у алгебра 11 класс х^2-8х+8 e^6-x анализ функции экстремумы функции Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = (x^2 - 8x + 8)e^6 - x, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдите производную функции.

Для нахождения точек минимума или максимума функции, первым делом мы должны найти производную функции y по x. Производная поможет нам определить, где функция достигает своих экстремумов.

Функция y состоит из двух частей: (x^2 - 8x + 8)e^6 и -x. Мы можем использовать правило произведения для первой части:

• Первая часть: u = (x^2 - 8x + 8), v = e^6 (постоянная),
• Вторая часть: -x.

Таким образом, производная будет выглядеть следующим образом:

y' = u'v + uv' - 1, где u' = 2x - 8, v' = 0.

Итак, производная будет:

y' = (2x - 8)e^6 + (x^2 - 8x + 8) * 0 - 1 = (2x - 8)e^6 - 1.

Шаг 2: Найдите критические точки.

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

(2x - 8)e^6 - 1 = 0.

Решим это уравнение:

• (2x - 8)e^6 = 1,
• 2x - 8 = e^(-6),
• 2x = e^(-6) + 8,
• x = (e^(-6) + 8) / 2.

Шаг 3: Определите, является ли критическая точка минимумом или максимумом.

Для этого нужно воспользоваться вторым производным тестом. Найдем вторую производную функции y:

y'' = (2)e^6 (поскольку e^6 является константой) и вторая часть будет равна 0.

Таким образом, y'' = 2e^6.

Так как y'' > 0, это означает, что функция выпуклая и в данной критической точке у нас минимум.

Шаг 4: Найдите значение функции в точке минимума.

Теперь мы можем подставить найденное значение x обратно в исходную функцию, чтобы найти значение y в этой точке:

y_min = ((e^(-6) + 8) / 2)^2 - 8((e^(-6) + 8) / 2) + 8)e^6 - (e^(-6) + 8) / 2.

Таким образом, мы нашли точку минимума функции y, а также определили, что это действительно минимум, используя второй производный тест.