Как можно решить неравенство (x-1)² + 7x (x-1) ⩽ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс (x-1)² + 7x (x-1) ⩽ 0 математические неравенства методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства (x-1)² + 7x (x-1) ⩽ 0, начнем с упрощения левой части неравенства.

1. Раскроем скобки:
• (x-1)² = x² - 2x + 1
• 7x(x-1) = 7x² - 7x
2. Сложим полученные выражения:
• x² - 2x + 1 + 7x² - 7x = 8x² - 9x + 1

Теперь неравенство выглядит так:

8x² - 9x + 1 ⩽ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 8x² - 9x + 1 = 0 с помощью дискриминанта:

1. Вычислим дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 8 * 1 = 81 - 32 = 49
2. Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два различных корня:
• x₁ = (9 + √49) / (2 * 8) = (9 + 7) / 16 = 1
• x₂ = (9 - √49) / (2 * 8) = (9 - 7) / 16 = 1/8

Теперь у нас есть два корня: x₁ = 1 и x₂ = 1/8.

Теперь определим знаки выражения 8x² - 9x + 1 на интервалах:

• Интервал 1: (-∞, 1/8)
• Интервал 2: (1/8, 1)
• Интервал 3: (1, +∞)

Проверим знак выражения на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, 1/8): возьмем, например, x = 0. Подставляем: 8(0)² - 9(0) + 1 = 1 > 0.
2. Для интервала (1/8, 1): возьмем, например, x = 0.5. Подставляем: 8(0.5)² - 9(0.5) + 1 = 2 - 4.5 + 1 = -1 < 0.
3. Для интервала (1, +∞): возьмем, например, x = 2. Подставляем: 8(2)² - 9(2) + 1 = 32 - 18 + 1 = 15 > 0.

Таким образом, мы получаем:

• На интервале (-∞, 1/8) выражение положительно.
• На интервале (1/8, 1) выражение отрицательно.
• На интервале (1, +∞) выражение положительно.

Неравенство 8x² - 9x + 1 ⩽ 0 выполняется на интервале (1/8, 1], включая границы, так как в точках x = 1/8 и x = 1 выражение равно нулю.

Ответ: x ∈ [1/8, 1].