Как можно решить следующие задачи по алгебре?

1. Для линейного оператора f известно, что f(2) = -7 и f(-3) = 18. Найдите значение этого линейного оператора на векторе u = (-5, 4, 0). В ответе укажите сумму координат вектора f(u).
2. Известно, что в некотором ортонормированном базисе f имеет вид:
   • f(x1) = -5x1 + 7x2 - x3
   • f(x2) = -9x1 + 8x2 - 3x3
   • f(x3) = -2x1 + 9x2 - 2x3
   Найдите матрицу оператора f*, сопряженного для f. В ответе укажите сумму 2-й строки.
3. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора f, если известна его матрица в стандартном базисе F = {{38, -39}, {-4, 58}}. Первые координаты собственных векторов приравняйте к 1. В ответе укажите сумму их вторых координат.
4. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму:
   • q = -4x1^2 - 12x1x2 - 4x1x3 - 13x2^2 - 22x2x3 - 17x3^2
   • q = x1^2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 29x2^2 + 38x2x3 + 17x3^2
   к нормальному виду. В ответе укажите сумму коэффициентов нормального вида.
5. Классифицируйте квадратичную форму по знаку:
   • q = 22x1^2 - 10x1x2 + 16x1x3 + 2x2^2 - 8x2x3 + 16x3^2
   • q = 11x1^2 - 34x1x2 - 8x1x3 + 7x2^2 + 16x2x3 + 4x3^2

Алгебра 11 класс Линейные операторы и квадратичные формы алгебра 11 класс задачи по алгебре линейный оператор матрица оператора собственные значения квадратичная форма классификация квадратичной формы Новый

Давайте разберем каждую из задач по очереди.

1. Линейный оператор f

Имеем значения оператора f для двух векторов:

• f(2) = -7
• f(-3) = 18

Мы можем выразить оператор f в виде:

f(x) = ax + b, где a и b - некоторые постоянные.

Подставим известные значения:

1. f(2) = 2a + b = -7
2. f(-3) = -3a + b = 18

Теперь у нас есть система уравнений:

• 2a + b = -7
• -3a + b = 18

Вычтем первое уравнение из второго:

-3a + b - (2a + b) = 18 + 7

-5a = 25

Отсюда a = -5.

Подставим a в одно из уравнений, например, в первое:

2(-5) + b = -7

-10 + b = -7

b = 3.

Таким образом, оператор f имеет вид:

f(x) = -5x + 3.

Теперь найдем значение f(u) для вектора u = (-5, 4, 0):

f(u) = f(-5) + f(4) + f(0) = -5(-5) + 3 + 0 = 25 + 3 = 28.

Сумма координат вектора f(u) равна 28.

2. Матрица сопряженного оператора f*

Запишем матрицу оператора f в стандартном базисе:

f(x1) = [-5, 7, -1], f(x2) = [-9, 8, -3], f(x3) = [-2, 9, -2].

Матрица A будет:

A = {{-5, 7, -1}, {-9, 8, -3}, {-2, 9, -2}}.

Сопряженная матрица A* является транспонированной матрицей:

A* = {{-5, -9, -2}, {7, 8, 9}, {-1, -3, -2}}.

Теперь найдем сумму второй строки:

7 + 8 + 9 = 24.

3. Собственные значения и собственные векторы

Имеем матрицу F = {{38, -39}, {-4, 58}}. Найдем собственные значения:

Для этого вычислим характеристический многочлен det(F - λI) = 0:

det({{38 - λ, -39}, {-4, 58 - λ}}) = (38 - λ)(58 - λ) + 156 = 0.

Решив это уравнение, найдем собственные значения λ1 и λ2.

После нахождения собственных значений подставим их в уравнение (F - λI)v = 0 для нахождения собственных векторов.

Приравняем первые координаты собственных векторов к 1 и найдем вторые координаты.

Сумма вторых координат собственных векторов даст нам ответ.

4. Приведение квадратичной формы к нормальному виду

Квадратичная форма q = -4x1^2 - 12x1x2 - 4x1x3 - 13x2^2 - 22x2x3 - 17x3^2.

Для приведения к нормальному виду используем метод Лагранжа:

Составим матрицу Q из коэффициентов:

Q = {{-4, -6, -2}, {-6, -13, -11}, {-2, -11, -17}}.

Найдем собственные значения и векторы матрицы Q, затем преобразуем форму.

Сумма коэффициентов нормального вида будет ответом.

5. Классификация квадратичной формы по знаку

Для q = 22x1^2 - 10x1x2 + 16x1x3 + 2x2^2 - 8x2x3 + 16x3^2:

Составим матрицу и найдем ее собственные значения. Если все собственные значения положительны, форма положительно определена, если отрицательны - отрицательно определена, если есть смешанные знаки - не определена.

Аналогично проведем для второй формы.

Таким образом, мы классифицируем обе формы по знаку.