Давайте последовательно решим каждую из предложенных задач.

1. Вычислите: Cos^2 п/4 + tg^2 (-п/3) - ctg(-П/2)

1. Вычислим Cos^2(п/4):
   • Значение Cos(п/4) равно 1/√2.
   • Следовательно, Cos^2(п/4) = (1/√2)^2 = 1/2.
2. Вычислим tg^2(-п/3):
   • tg(-п/3) = -tg(п/3), так как тангенс - нечетная функция.
   • Значение tg(п/3) = √3.
   • Следовательно, tg(-п/3) = -√3, и tg^2(-п/3) = (-√3)^2 = 3.
3. Вычислим ctg(-П/2):
   • ctg(-П/2) = 1/tg(-П/2).
   • tg(-П/2) не существует, следовательно, ctg(-П/2) тоже не существует (разделение на ноль).
4. Соберем все вместе:
   • Получаем: Cos^2(п/4) + tg^2(-п/3) - ctg(-П/2) = 1/2 + 3 - не существует.
   • Таким образом, выражение не имеет смысла из-за ctg(-П/2).

2. Дано: sin a = 3/5, П < a < 3П/2. Найдите остальные тригонометрические функции угла a.

1. Найдем Cos(a):
   • Используем основное тригонометрическое тождество: sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
   • Подставляем: (3/5)^2 + cos^2(a) = 1.
   • 9/25 + cos^2(a) = 1.
   • cos^2(a) = 1 - 9/25 = 16/25.
   • cos(a) = -√(16/25) = -4/5 (так как угол a находится в III четверти).
2. Найдем tg(a):
   • tg(a) = sin(a) / cos(a) = (3/5) / (-4/5) = -3/4.
3. Найдем ctg(a):
   • ctg(a) = 1/tg(a) = -4/3.
4. Найдем sec(a):
   • sec(a) = 1/cos(a) = -5/4.
5. Найдем csc(a):
   • csc(a) = 1/sin(a) = 5/3.

Таким образом, мы нашли все тригонометрические функции:

• sin(a) = 3/5
• cos(a) = -4/5
• tg(a) = -3/4
• ctg(a) = -4/3
• sec(a) = -5/4
• csc(a) = 5/3

3. Докажите, что (2sin^2a * ctga / cos^2a - sin^2a) = tg2a.

1. Начнем с левой части: 2sin^2(a) * ctg(a) / cos^2(a) - sin^2(a).
2. Заменим ctg(a):
   • ctg(a) = cos(a) / sin(a).
   • Подставляем: 2sin^2(a) * (cos(a) / sin(a)) / cos^2(a) - sin^2(a).
   • Это упрощается до: 2sin(a) / cos(a) - sin^2(a) / cos^2(a).
3. Теперь упростим выражение:
   • 2sin(a) / cos(a) = 2tg(a).
   • sin^2(a) / cos^2(a) = tg^2(a).
   • Следовательно, получаем: 2tg(a) - tg^2(a).
4. Используем формулу для тангенса двойного угла:
   • tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)).
5. Теперь покажем, что 2tg(a) - tg^2(a) = tg(2a):
   • tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)) = (2tg(a) - tg^2(a))/(1 - tg^2(a)).
   • Таким образом, левая часть равенства равна правой части.

Таким образом, мы доказали, что (2sin^2a * ctg(a) / cos^2a - sin^2a) = tg(2a).