Как можно решить уравнение 2 в степени x плюс 5 делить на 2 в степени (x минус 2) минус 9 равно 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 2 в степени x деление на 2 в степени Уравнение с переменной математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 2^x + 5 / 2^(x - 2) - 9 = 0 начнем с упрощения его. Обратите внимание, что 2^(x - 2) можно переписать как 2^x / 4. Это поможет нам избавиться от дроби в уравнении.

Перепишем уравнение, используя это преобразование:

2^x + 5 / (2^x / 4) - 9 = 0

Теперь упростим дробь:

5 / (2^x / 4) = 5 * (4 / 2^x) = 20 / 2^x

Теперь подставим это обратно в уравнение:

2^x + 20 / 2^x - 9 = 0

Теперь умножим все уравнение на 2^x, чтобы избавиться от дроби:

(2^x)^2 + 20 - 9 * 2^x = 0

Это уравнение можно записать в стандартной форме квадратного уравнения:

(2^x)^2 - 9 * 2^x + 20 = 0

Теперь обозначим y = 2^x. Подставим это в уравнение:

y^2 - 9y + 20 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac

Где a = 1, b = -9, c = 20. Подставим значения:

D = (-9)^2 - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:

y1,2 = (9 ± √D) / 2a

Подставим значение дискриминанта:

y1,2 = (9 ± 1) / 2

• y1 = (9 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5
• y2 = (9 - 1) / 2 = 8 / 2 = 4

Теперь мы нашли два значения для y:

y1 = 5 и y2 = 4.

Теперь вспомним, что y = 2^x. Подставим наши значения:

• 2^x = 5
• 2^x = 4

Решим каждое из этих уравнений:

• Для 2^x = 5: x = log2(5)
• Для 2^x = 4: x = 2 (так как 2^2 = 4)

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = log2(5)
• x = 2

Это и есть окончательные решения нашего уравнения.