Как можно решить уравнение 49x^2 + 16y^2 + 294x - 64y - 279 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения второй степени решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 49x^2 методы решения уравнений Квадратные уравнения система уравнений анализ уравнения алгебраические методы Новый

Для решения уравнения 49x^2 + 16y^2 + 294x - 64y - 279 = 0 мы можем использовать метод выделения полного квадрата. Давайте разберем это уравнение по шагам.

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду

Сначала мы можем сгруппировать члены уравнения по переменным x и y:

49x^2 + 294x + 16y^2 - 64y - 279 = 0

Шаг 2: Выделим полный квадрат для x

Рассмотрим часть уравнения, содержащую x:

49x^2 + 294x

Чтобы выделить полный квадрат, мы можем вынести 49:

49(x^2 + (294/49)x) = 49(x^2 + 6x)

Теперь нам нужно добавить и вычесть (6/2)^2 = 9, чтобы получить полный квадрат:

49(x^2 + 6x + 9 - 9) = 49((x + 3)^2 - 9) = 49(x + 3)^2 - 441

Шаг 3: Выделим полный квадрат для y

Теперь рассмотрим часть уравнения, содержащую y:

16y^2 - 64y

Вынесем 16:

16(y^2 - 4y)

Добавим и вычтем (4/2)^2 = 4:

16(y^2 - 4y + 4 - 4) = 16((y - 2)^2 - 4) = 16(y - 2)^2 - 64

Шаг 4: Подставим обратно в уравнение

Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение:

49((x + 3)^2 - 9) + 16((y - 2)^2 - 4) - 279 = 0

Это упростится до:

49(x + 3)^2 - 441 + 16(y - 2)^2 - 64 - 279 = 0

Соберем все константы:

49(x + 3)^2 + 16(y - 2)^2 - 784 = 0

Теперь добавим 784 к обеим сторонам уравнения:

49(x + 3)^2 + 16(y - 2)^2 = 784

Шаг 5: Приведем уравнение к канонической форме

Теперь мы можем разделить обе стороны на 784, чтобы привести уравнение к канонической форме:

(x + 3)^2 / (784/49) + (y - 2)^2 / (784/16) = 1

Это упростится до:

(x + 3)^2 / 16 + (y - 2)^2 / 49 = 1

Шаг 6: Определим параметры

Теперь мы видим, что уравнение имеет вид:

(x - x0)^2 / a^2 + (y - y0)^2 / b^2 = 1

где (x0, y0) = (-3, 2), a^2 = 16 (a = 4), b^2 = 49 (b = 7).

Шаг 7: Вывод

Таким образом, уравнение описывает эллипс с центром в точке (-3, 2), полуось по x равной 4 и полуось по y равной 7.