Как можно решить уравнение: x² - 5|x| + 6 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с модулем уравнение алгебра решение уравнений x2 модуль математические задачи 11 класс Квадратные уравнения методы решения математический анализ Новый

Чтобы решить уравнение x² - 5|x| + 6 = 0, нам нужно учесть, что модуль |x| может принимать разные значения в зависимости от того, положительное или отрицательное x. Поэтому мы будем рассматривать два случая: когда x ≥ 0 и когда x < 0.

Шаг 1: Рассмотрим случай 1: x ≥ 0

В этом случае |x| = x. Подставим это в уравнение:

• x² - 5x + 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант D:

• D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня. Найдем их по формуле:

• x1 = (5 + √D) / 2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3,
• x2 = (5 - √D) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Получили два корня: x1 = 3 и x2 = 2. Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0.

Шаг 2: Рассмотрим случай 2: x < 0

В этом случае |x| = -x. Подставим это в уравнение:

• x² + 5x + 6 = 0.

Решим это квадратное уравнение, также найдя дискриминант D:

• D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Как и в предыдущем случае, D > 0, значит у уравнения два различных корня:

• x1 = (-5 + √D) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2,
• x2 = (-5 - √D) / 2 = (-5 - 1) / 2 = -6 / 2 = -3.

Получили два корня: x1 = -2 и x2 = -3. Оба корня удовлетворяют условию x < 0.

Шаг 3: Записываем все найденные корни

Теперь мы можем записать все корни уравнения:

• x = 2,
• x = 3,
• x = -2,
• x = -3.

Таким образом, уравнение x² - 5|x| + 6 = 0 имеет четыре решения: x = 2, x = 3, x = -2 и x = -3.