Как можно вычислить интеграл от функции cos^2(x/4), преобразуя подынтегральные функции, если a = π/2 и b = π/2?

Алгебра 11 класс Интегралы и тригонометрические функции интеграл cos^2(x/4) вычисление интеграла подынтегральные функции интеграл от функции алгебра интегралы математический анализ Новый

Привет! Давай разберемся, как вычислить интеграл от функции cos^2(x/4). Это на самом деле довольно просто, если использовать некоторые тригонометрические преобразования.

Во-первых, мы можем воспользоваться формулой для косинуса в квадрате:

• cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2

Применим это к нашей функции:

• cos^2(x/4) = (1 + cos(x/2)) / 2

Теперь подставим это в наш интеграл:

• ∫(cos^2(x/4)) dx = ∫((1 + cos(x/2)) / 2) dx

Теперь мы можем разделить этот интеграл на два отдельных:

• ∫(1/2) dx + ∫(cos(x/2) / 2) dx

Теперь давай вычислим каждый из этих интегралов:

1. Первый интеграл: ∫(1/2) dx = (1/2)x
2. Второй интеграл: ∫(cos(x/2) / 2) dx = (1/2) * 2 * sin(x/2) = sin(x/2)

Таким образом, получаем:

• ∫(cos^2(x/4)) dx = (1/2)x + sin(x/2) + C

Теперь, если нужно найти определенный интеграл от π/2 до π/2, то:

• ∫(cos^2(x/4)) dx от π/2 до π/2 = [(1/2)(π/2) + sin(π/4)] - [(1/2)(π/2) + sin(π/4)] = 0

Так что, в итоге, интеграл от cos^2(x/4) на этом промежутке равен 0. Надеюсь, это поможет!