Чтобы вычислить производную функции y = (x + 1)² × (x + 5)², мы можем воспользоваться правилом произведения и правилом дифференцирования степенной функции. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Определение функции: У нас есть функция, которая является произведением двух квадратов:
   • u = (x + 1)²
   • v = (x + 5)²
2. Правило произведения: Если y = u × v, то производная y' вычисляется по формуле: y' = u'v + uv'
3. Вычисление u' и v': Теперь найдем производные u и v.
   • Для u = (x + 1)², применим правило дифференцирования степенной функции:
     • u' = 2(x + 1) × (1) = 2(x + 1)
   • Для v = (x + 5)², аналогично:
     • v' = 2(x + 5) × (1) = 2(x + 5)
4. Подставляем значения в формулу для производной:
   • y' = u'v + uv'
   • Подставим найденные значения:
     • y' = [2(x + 1)] × [(x + 5)²] + [(x + 1)²] × [2(x + 5)]
5. Упрощение: Теперь упростим выражение.
   • y' = 2(x + 1)(x + 5)² + 2(x + 5)(x + 1)²
   • Выносим общий множитель 2:
     • y' = 2[(x + 1)(x + 5)² + (x + 5)(x + 1)²]
6. Финальный ответ: Таким образом, производная функции y = (x + 1)² × (x + 5)² равна: y' = 2[(x + 1)(x + 5)² + (x + 5)(x + 1)²]

Если необходимо, можно продолжить упрощение или подставить конкретные значения для x, чтобы найти численное значение производной в этой точке.