Чтобы найти экстремумы функции y = 2x^2 + 3x, необходимо выполнить несколько шагов. Экстремумы функции - это точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума. Для нахождения этих точек мы будем использовать производную функции.

1. Найдите производную функции.

   Производная функции y = 2x^2 + 3x обозначается как y'. Для нахождения производной используем правило дифференцирования:

   • Производная от 2x^2 равна 4x (поскольку 2 * 2 = 4).
   • Производная от 3x равна 3.

   Таким образом, производная функции:

   y' = 4x + 3.

2. Найдите критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение:

   4x + 3 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 4x = -3;
   • x = -3/4.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = -3/4.

3. Определите, является ли критическая точка максимумом или минимумом.

   Для этого мы можем использовать второй производный тест. Сначала найдем вторую производную функции:

   y'' = 4.

   Так как вторая производная положительна (y'' = 4 > 0), это означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = -3/4.

4. Найдите значение функции в критической точке.

   Теперь найдем значение функции y в точке x = -3/4:

   y = 2(-3/4)^2 + 3(-3/4).

   Сначала вычислим (-3/4)^2 = 9/16, затем:

   y = 2 * 9/16 - 9/4 = 18/16 - 9/4 = 18/16 - 36/16 = -18/16 = -9/8.

   Таким образом, значение функции в критической точке равно y = -9/8.

В итоге, мы нашли, что функция y = 2x^2 + 3x имеет локальный минимум в точке x = -3/4, и значение функции в этой точке равно -9/8.