Чтобы найти экстремумы функции y = x^3 + 3x^2 - 9x, нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает локальных максимумов или минимумов. Для этого мы будем использовать производные.

Первая производная функции y по x обозначается как y'. Она показывает, как изменяется значение функции y при изменении x. Найдем первую производную:

y' = d/dx (x^3 + 3x^2 - 9x) = 3x^2 + 6x - 9.

Критические точки — это такие значения x, при которых первая производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек мы приравняем первую производную к нулю:

3x^2 + 6x - 9 = 0.

Теперь упростим уравнение, разделив все его члены на 3:

x^2 + 2x - 3 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 2, c = -3. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.
• Теперь подставим в формулу: x = (-2 ± √16) / 2*1 = (-2 ± 4) / 2.

Это дает нам два значения:

• x1 = (2) / 2 = 1,
• x2 = (-6) / 2 = -3.

Вторая производная функции будет использоваться для определения типа критических точек (максимум или минимум). Найдем вторую производную:

y'' = d/dx (3x^2 + 6x - 9) = 6x + 6.

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

• Для x = 1: y''(1) = 6*1 + 6 = 12 (положительное значение). Это значит, что в точке x = 1 находится локальный минимум.
• Для x = -3: y''(-3) = 6*(-3) + 6 = -12 (отрицательное значение). Это значит, что в точке x = -3 находится локальный максимум.

Теперь мы можем найти значения функции в критических точках:

• y(1) = 1^3 + 3*1^2 - 9*1 = 1 + 3 - 9 = -5.
• y(-3) = (-3)^3 + 3*(-3)^2 - 9*(-3) = -27 + 27 + 27 = 27.

Таким образом, мы нашли экстремумы функции:

• Локальный минимум в точке (1, -5).
• Локальный максимум в точке (-3, 27).