Похожие вопросы
2025-10-24 18:45:46
Как найти общий интеграл дифференциального уравнения:
- dy = √(4 - y²) dx - x dy.
- x² dy = 2x√(y² + 4)dx - dy.
Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения общий интеграл Дифференциальное уравнение алгебра 11 класс решение уравнения методы интегрирования Новый
2025-10-24 18:46:07
Для решения данного дифференциального уравнения, давайте сначала упростим его и приведем к более удобному виду.
Исходное уравнение имеет вид:
dy = √(4 - y²) dx - x dy.
Первым шагом мы можем собрать все члены с dy в одну сторону:
dy + x dy = √(4 - y²) dx.
Теперь вынесем dy за скобку:
(1 + x) dy = √(4 - y²) dx.
Теперь мы можем разделить переменные:
dy / (√(4 - y²)) = dx / (1 + x).
Теперь интегрируем обе стороны:
- Левая часть: ∫ dy / √(4 - y²).
- Правая часть: ∫ dx / (1 + x).
Интеграл левой части можно решить, используя тригонометрическую подстановку или известный интеграл:
∫ dy / √(4 - y²) = arcsin(y / 2) + C₁, где C₁ - произвольная константа.
Интеграл правой части:
∫ dx / (1 + x) = ln|1 + x| + C₂, где C₂ - другая произвольная константа.
Теперь мы можем записать общее решение:
arcsin(y / 2) = ln|1 + x| + C, где C = C₂ - C₁.
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет следующий вид:
arcsin(y / 2) - ln|1 + x| = C.
Это уравнение описывает связь между переменными x и y, и C является произвольной константой, которая может быть определена при наличии начальных условий.