Чтобы найти площадь фигур, ограниченных заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов для каждой пары функций. Давайте разберем каждую фигуру отдельно.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Мы приравняем их:

1. 4x - x^2 = 0
2. Решим это уравнение: x(4 - x) = 0
3. Таким образом, x = 0 и x = 4.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена по оси x от 0 до 4. Чтобы найти площадь, интегрируем функцию y=4x-x^2 от 0 до 4:

Площадь = ∫(4x - x^2)dx от 0 до 4.

Вычислим интеграл:

1. ∫(4x - x^2)dx = 2x^2 - (1/3)x^3 + C
2. Теперь подставим пределы: P = [2(4^2) - (1/3)(4^3)] - [2(0^2) - (1/3)(0^3)]
3. Это будет P = [32 - (64/3)] = (96/3 - 64/3) = 32/3.

Таким образом, площадь первой фигуры равна 32/3.

Сначала найдем точки пересечения этих функций. Подставим y из второго уравнения в первое:

1. x^2 - 2x + 3 = 5 - x
2. Перепишем уравнение: x^2 - x - 2 = 0
3. Решим это уравнение: (x-2)(x+1) = 0, x = 2 и x = -1.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена по оси x от -1 до 2. Чтобы найти площадь, интегрируем разность функций:

Площадь = ∫((5-x)-(x^2-2x+3))dx от -1 до 2.

Упростим подынтегральное выражение:

5 - x - (x^2 - 2x + 3) = -x^2 + x + 2.

Теперь вычислим интеграл:

1. ∫(-x^2 + x + 2)dx = -(1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2x + C.
2. Теперь подставим пределы: P = [-(1/3)(2^3) + (1/2)(2^2) + 2(2)] - [-(1/3)(-1^3) + (1/2)(-1^2) + 2(-1)]
3. Это будет P = [-(8/3) + 2 + 4] - [1/3 + 1 - 2] = [-(8/3) + 6/3] - [1/3 - 2/3] = (6/3 - 8/3) + (2/3) = -2/3 + 2/3 = 0.

Таким образом, площадь второй фигуры равна 0, что указывает на то, что линии пересекаются в одной точке.

Сначала найдем точки пересечения. Мы приравняем функции:

1. x^2 = |x|.
2. Рассмотрим два случая: x ≥ 0 и x < 0.
3. Для x ≥ 0: x^2 = x, x(x-1) = 0, x = 0 и x = 1.
4. Для x < 0: x^2 = -x, x^2 + x = 0, x(x + 1) = 0, x = 0 и x = -1.

Таким образом, точки пересечения: x = -1, 0, 1. Теперь мы можем найти площадь фигуры, интегрируя разность функций:

Площадь = ∫((|x| - x^2))dx от -1 до 1.

Разобьем интеграл на два части, так как |x| меняется:

1. Для от -1 до 0: |x| = -x, Площадь1 = ∫((-x - x^2))dx от -1 до 0.
2. Для от 0 до 1: |x| = x, Площадь2 = ∫((x - x^2))dx от 0 до 1.

Теперь вычислим оба интеграла:

1. Площадь1 = ∫(-x - x^2)dx = [-(1/2)x^2 - (1/3)x^3] от -1 до 0 = [0] - [-(1/2)(-1)^2 - (1/3)(-1)^3] = 1/2 + 1/3 = 5/6.
2. Площадь2 = ∫(x - x^2)dx = [(1/2)x^2 - (1/3)x^3] от 0 до 1 = [(1/2)(1)^2 - (1/3)(1)^3] - [0] = 1/2 - 1/3 = 1/6.

Теперь сложим площади:

Общая площадь = Площадь1 + Площадь2 = 5/6 + 1/6 = 6/6 = 1.

Таким образом, площадь третьей фигуры равна 1.

В итоге, площади фигур:

• Первая фигура: 32/3
• Вторая фигура: 0
• Третья фигура: 1