Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определяем функцию и границы интегрирования.

   Мы имеем функцию y = x² - 4x - 5. Эта функция является параболой. Мы также знаем, что область ограничена линией y = 0 (ось абсцисс) и вертикальными линиями x = -1 и x = 4.

2. Находим точки пересечения функции с осью абсцисс.

   Для этого нужно решить уравнение:

   x² - 4x - 5 = 0.

   Можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 1, b = -4, c = -5.

   Подставим значения:

   x = (4 ± √((-4)² - 4 * 1 * (-5))) / (2 * 1) = (4 ± √(16 + 20)) / 2 = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   • x1 = (4 + 6) / 2 = 5,
   • x2 = (4 - 6) / 2 = -1.

   Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках x = -1 и x = 5. Однако, так как нас интересуют границы от x = -1 до x = 4, мы будем использовать только эту область.

3. Находим площадь под кривой.

   Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, можно найти с помощью определенного интеграла:

   Площадь = ∫(от -1 до 4) (x² - 4x - 5) dx.

4. Вычисляем интеграл.

   Сначала находим неопределенный интеграл:

   ∫(x² - 4x - 5) dx = (1/3)x³ - 2x² - 5x + C.

   Теперь подставляем пределы интегрирования:

   Площадь = [(1/3)(4)³ - 2(4)² - 5(4)] - [(1/3)(-1)³ - 2(-1)² - 5(-1)].

   Вычисляем значения:

   • Для x = 4: (1/3)(64) - 2(16) - 20 = (64/3) - 32 - 20 = (64/3) - (96/3) - (60/3) = (64 - 96 - 60) / 3 = -92/3.
   • Для x = -1: (1/3)(-1) - 2(1) + 5 = (-1/3) - 2 + 5 = (-1/3) + 3 = (8/3).

   Теперь подставляем в формулу:

   Площадь = (-92/3) - (8/3) = -100/3.

   Однако, поскольку мы ищем площадь, берем модуль:

   Площадь = 100/3.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, равна 100/3 квадратных единиц.