Чтобы найти предел функции A в точке a, нам нужно проанализировать поведение функции f(x) при приближении x к a. Мы также определим проколотую окрестность точки a, в которой выполняется неравенство |f(x) - A| < ε для различных значений ε.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Сначала найдем предел функции f(x) при x, стремящемся к 1:

1. Вычислим f(1): f(1) = 1^2 = 1.
2. Следовательно, предел A = 1.

Теперь определим проколотую окрестность точки a = 1 для различных значений ε:

• Для ε = 1:
• Мы ищем такие x, что |f(x) - 1| < 1.
• Это означает, что 0 < f(x) < 2.
• Поскольку f(x) = x^2, неравенство |x^2 - 1| < 1 приводит к -1 < x^2 - 1 < 1, что дает 0 < x^2 < 2.
• Таким образом, мы получаем: -√2 < x < -1 и 1 < x < √2.
• Проколотая окрестность: (1 - 1, 1 + 1) = (0, 2), исключая x = 1.
• Для ε = 1/2:
• Мы ищем такие x, что |f(x) - 1| < 1/2.
• Это означает, что 1/2 < f(x) < 3/2.
• Неравенство |x^2 - 1| < 1/2 приводит к 1/2 < x^2 < 3/2.
• Следовательно, -√(3/2) < x < -√(1/2) и √(1/2) < x < √(3/2).
• Проколотая окрестность: (1 - 1/2, 1 + 1/2) = (1/2, 3/2), исключая x = 1.
• Для ε = 1/10:
• Мы ищем такие x, что |f(x) - 1| < 1/10.
• Это означает, что 9/10 < f(x) < 11/10.
• Неравенство |x^2 - 1| < 1/10 приводит к 9/10 < x^2 < 11/10.
• Следовательно, -√(11/10) < x < -√(9/10) и √(9/10) < x < √(11/10).
• Проколотая окрестность: (1 - 1/10, 1 + 1/10) = (9/10, 11/10), исключая x = 1.

Теперь найдем предел функции f(x) при x, стремящемся к 0:

1. Вычислим f(0): f(0) = 1/(0+1) = 1.
2. Следовательно, предел A = 1.

Теперь определим проколотую окрестность точки a = 0 для различных значений ε:

• Для ε = 1:
• Мы ищем такие x, что |f(x) - 1| < 1.
• Это означает, что 0 < f(x) < 2.
• Неравенство |1/(x+1) - 1| < 1 приводит к 0 < 1/(x+1) < 2.
• Решая это неравенство, получаем: x > -1.
• Проколотая окрестность: (-1, 1), исключая x = 0.
• Для ε = 1/2:
• Мы ищем такие x, что |f(x) - 1| < 1/2.
• Это означает, что 1/2 < f(x) < 3/2.
• Неравенство |1/(x+1) - 1| < 1/2 приводит к 1/2 < 1/(x+1) < 3/2.
• Решая это неравенство, получаем: -1 < x < 1.
• Проколотая окрестность: (-1, 1), исключая x = 0.
• Для ε = 1/10:
• Мы ищем такие x, что |f(x) - 1| < 1/10.
• Это означает, что 9/10 < f(x) < 11/10.
• Неравенство |1/(x+1) - 1| < 1/10 приводит к 9/10 < 1/(x+1) < 11/10.
• Решая это неравенство, получаем: -1 < x < 1.
• Проколотая окрестность: (-1, 1), исключая x = 0.

Таким образом, мы нашли пределы и проколотые окрестности для обеих функций.