2025-10-25 00:50:51
Как найти произведения матриц (АВ)С и А(ВС), если заданы следующие матрицы:
- A = {{5, 9, 7}, {0, 3, -2}}
- B = {{5, 9}, {0, 3}, {0, 2}}
- C = {{3, 4}, {-1, 0}}
Алгебра 11 класс Произведение матриц произведение матриц алгебра 11 класс матричное умножение матрицы A B C вычисление произведения матриц Новый
2025-10-25 00:51:14
Чтобы найти произведения матриц (АВ)С и А(ВС), сначала нужно вычислить произведение матриц А и В, а затем произведение матриц В и С. Давайте разберем это шаг за шагом.
Шаг 1: Вычислим произведение матриц А и В (АВ)Матрица А имеет размер 2x3, а матрица В имеет размер 3x2. Произведение матриц А и В будет иметь размер 2x2. Для нахождения элемента (i,j) в результате произведения мы умножаем элементы i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и суммируем их.
- Элемент (1,1): 5*5 + 9*0 + 7*0 = 25 + 0 + 0 = 25
- Элемент (1,2): 5*9 + 9*3 + 7*2 = 45 + 27 + 14 = 86
- Элемент (2,1): 0*5 + 3*0 + (-2)*0 = 0 + 0 + 0 = 0
- Элемент (2,2): 0*9 + 3*3 + (-2)*2 = 0 + 9 - 4 = 5
Таким образом, матрица (АВ) будет равна:
(АВ) = {{25, 86}, {0, 5}}
Шаг 2: Теперь найдем произведение матриц (АВ)СТеперь мы умножаем полученную матрицу (АВ) на матрицу С. Матрица (АВ) имеет размер 2x2, а матрица С имеет размер 2x2, поэтому результат будет также 2x2.
- Элемент (1,1): 25*3 + 86*(-1) = 75 - 86 = -11
- Элемент (1,2): 25*4 + 86*0 = 100 + 0 = 100
- Элемент (2,1): 0*3 + 5*(-1) = 0 - 5 = -5
- Элемент (2,2): 0*4 + 5*0 = 0 + 0 = 0
Таким образом, матрица (АВ)С будет равна:
(АВ)С = {{-11, 100}, {-5, 0}}
Шаг 3: Теперь найдем произведение матриц В и С (ВС)Матрица В имеет размер 3x2, а матрица С имеет размер 2x2. Произведение матриц В и С будет иметь размер 3x2.
- Элемент (1,1): 5*3 + 9*(-1) = 15 - 9 = 6
- Элемент (1,2): 5*4 + 9*0 = 20 + 0 = 20
- Элемент (2,1): 0*3 + 3*(-1) = 0 - 3 = -3
- Элемент (2,2): 0*4 + 3*0 = 0 + 0 = 0
- Элемент (3,1): 0*3 + 2*(-1) = 0 - 2 = -2
- Элемент (3,2): 0*4 + 2*0 = 0 + 0 = 0
Таким образом, матрица (ВС) будет равна:
(ВС) = {{6, 20}, {-3, 0}, {-2, 0}}
Шаг 4: Теперь найдем произведение матриц А и (ВС) (А(ВС))Теперь мы умножаем матрицу А (размер 2x3) на матрицу (ВС) (размер 3x2). Результат будет иметь размер 2x2.
- Элемент (1,1): 5*6 + 9*(-3) + 7*(-2) = 30 - 27 - 14 = -11
- Элемент (1,2): 5*20 + 9*0 + 7*0 = 100 + 0 + 0 = 100
- Элемент (2,1): 0*6 + 3*(-3) + (-2)*(-2) = 0 - 9 + 4 = -5
- Элемент (2,2): 0*20 + 3*0 + (-2)*0 = 0 + 0 + 0 = 0
Таким образом, матрица А(ВС) будет равна:
А(ВС) = {{-11, 100}, {-5, 0}}
Итак, итоговые результаты:- (АВ)С = {{-11, 100}, {-5, 0}}
- А(ВС) = {{-11, 100}, {-5, 0}}
Как вы можете заметить, (АВ)С и А(ВС) равны. Это подтверждает свойство ассоциативности умножения матриц.