Как найти решение системы неравенств:

1. sqrt(x² + 2x + 1) / (x - 2) ≥ (x² - x - 2)
2. 2 * 8^x - 33 * 4^x + 144 * 2^x - 64 ≤ 0

Алгебра 11 класс Системы неравенств решение системы неравенств алгебра 11 класс неравенства математические задачи Квадратные неравенства методы решения неравенств Новый

Для решения данной системы неравенств, мы будем рассматривать каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Первое неравенство:

Рассмотрим неравенство:

sqrt(x² + 2x + 1) / (x - 2) ≥ (x² - x - 2)

Шаг 1: Упростим левую часть. Заметим, что sqrt(x² + 2x + 1) = sqrt((x + 1)²) = |x + 1|. Таким образом, неравенство можно записать как:

|x + 1| / (x - 2) ≥ (x² - x - 2)

Шаг 2: Найдем корни правой части:

x² - x - 2 = 0

Используем формулу корней квадратного уравнения:

• x = (1 ± sqrt(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2
• Корни: x = 2 и x = -1

Шаг 3: Теперь определим знак выражения (x² - x - 2) на интервалах, разделенных корнями -1 и 2. Мы проверим знаки на интервалах:

• x < -1
• -1 < x < 2
• x > 2

Шаг 4: Проверим знак на каждом интервале:

• Для x < -1, например, x = -2: (-2)² - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (положительно)
• Для -1 < x < 2, например, x = 0: 0² - 0 - 2 = -2 (отрицательно)
• Для x > 2, например, x = 3: 3² - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительно)

Таким образом, x² - x - 2 ≥ 0 на интервалах: (-∞, -1] и [2, +∞).

Шаг 5: Теперь определим знак левой части |x + 1| / (x - 2). Мы также должны учесть, что x не может быть равен 2 (разделение на ноль).

• Для x < -1, |x + 1| = -(x + 1) и (x - 2) < 0, следовательно, выражение положительно.
• Для -1 < x < 2, |x + 1| = x + 1 и (x - 2) < 0, следовательно, выражение отрицательно.
• Для x > 2, |x + 1| = x + 1 и (x - 2) > 0, следовательно, выражение положительно.

Шаг 6: Теперь мы можем составить систему:

• Первое неравенство выполняется для x ∈ (-∞, -1] ∪ [2, +∞).
• Но также нужно учитывать знак левой части, которая положительна на интервалах: (-∞, -1] ∪ (2, +∞).

Таким образом, решение первого неравенства: x ∈ (-∞, -1] ∪ (2, +∞).

Второе неравенство:

Теперь рассмотрим второе неравенство:

2 * 8^x - 33 * 4^x + 144 * 2^x - 64 ≤ 0.

Шаг 1: Преобразуем выражение. Заметим, что 8^x = (2^3)^x = (2^x)^3 и 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2. Обозначим t = 2^x. Тогда неравенство примет вид:

2t³ - 33t² + 144t - 64 ≤ 0.

Шаг 2: Найдем корни этого кубического уравнения. Для этого можно использовать метод подбора или метод деления.

Шаг 3: Проверим значения t, например, t = 1, 2, 3, 4:

• t = 1: 2(1)³ - 33(1)² + 144(1) - 64 = 2 - 33 + 144 - 64 = 49 (положительно)
• t = 2: 2(2)³ - 33(2)² + 144(2) - 64 = 16 - 132 + 288 - 64 = 108 (положительно)
• t = 3: 2(3)³ - 33(3)² + 144(3) - 64 = 54 - 297 + 432 - 64 = 125 (положительно)
• t = 4: 2(4)³ - 33(4)² + 144(4) - 64 = 128 - 528 + 576 - 64 = 112 (положительно)

Шаг 4: Теперь найдем корни, используя метод деления или графически. После нахождения корней, определим промежутки, где кубическое уравнение меньше или равно нулю.

Шаг 5: Объединим полученные решения второго неравенства с решениями первого неравенства.

Заключение:

После нахождения интервалов для второго неравенства, мы находим пересечение с интервалами первого неравенства. Это и будет решением системы неравенств.