Как определить интервалы, где график функции y = x4 + 6x3 - 24x2 + 9x - 6 является выпуклым или вогнутым, а также найти точки перегиба?

Алгебра 11 класс Анализ функций график функции интервалы выпуклости интервалы вогнутости точки перегиба алгебра 11 класс анализ функций производная функции свойства графика математический анализ Новый

Чтобы определить интервалы, где график функции y = x⁴ + 6x³ - 24x² + 9x - 6 является выпуклым или вогнутым, а также найти точки перегиба, нам нужно выполнить несколько шагов. Основной инструмент для этого - вторая производная функции.

Шаг 1: Найдем первую производную функции.

Первая производная функции y = x⁴ + 6x³ - 24x² + 9x - 6 будет:

• y' = 4x³ + 18x² - 48x + 9

Шаг 2: Найдем вторую производную функции.

Теперь найдем вторую производную:

• y'' = 12x² + 36x - 48

Шаг 3: Найдем точки перегиба.

Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю. То есть, решим уравнение:

• 12x² + 36x - 48 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать дискриминант:

• D = b² - 4ac = 36² - 4 * 12 * (-48)
• D = 1296 + 2304 = 3600

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

• x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

• x_1,2 = (-36 ± 60) / 24

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = 1 и x₂ = -4

Шаг 4: Определим интервалы выпуклости и вогнутости.

Теперь нам нужно проверить знаки второй производной на интервалах, которые определяются найденными точками перегиба (-∞, -4), (-4, 1) и (1, +∞).

• Для интервала (-∞, -4), например, подставим x = -5:
• y''(-5) = 12(-5)² + 36(-5) - 48 = 300 - 180 - 48 = 72 (положительно)
• Для интервала (-4, 1), например, подставим x = 0:
• y''(0) = 12(0)² + 36(0) - 48 = -48 (отрицательно)
• Для интервала (1, +∞), например, подставим x = 2:
• y''(2) = 12(2)² + 36(2) - 48 = 48 + 72 - 48 = 72 (положительно)

Шаг 5: Подводим итоги.

Итак, мы получили:

• Интервал (-∞, -4): функция выпуклая (y'' > 0)
• Интервал (-4, 1): функция вогнутая (y'' < 0)
• Интервал (1, +∞): функция снова выпуклая (y'' > 0)

Таким образом, точки перегиба находятся в x = -4 и x = 1, а интервалы выпуклости и вогнутости следующие:

• Выпуклая: (-∞, -4) и (1, +∞)
• Вогнутая: (-4, 1)