Как определить интервалы монотонности, экстремумы функции, а также интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба для следующих функций:

1. f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x - 1
2. f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5
3. f(x) = x^3 - 12x^2 + 7x - 3
4. f(x) = 1/3x^3 - 7x^2 + 48x - 12
5. f(x) = x^3 + 9x^2 - 7x - 2

Алгебра 11 класс Анализ функций интервалы монотонности экстремумы функции выпуклость вогнутость точки перегиба алгебра 11 класс анализ функций производная функции график функции свойства функций Новый

Чтобы определить интервалы монотонности, экстремумы, а также интервалы выпуклости и вогнутости для данных функций, нам нужно выполнить несколько шагов. Я объясню процесс на примере первой функции, а затем вы сможете применить те же шаги к остальным функциям.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для начала найдем первую производную функции. Это поможет нам определить, где функция возрастает или убывает.

• f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x - 1
• f'(x) = 3x^2 + 18x + 15

Шаг 2: Определение критических точек

Теперь найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

• 3x^2 + 18x + 15 = 0
• Упрощаем уравнение: x^2 + 6x + 5 = 0
• Теперь используем дискриминант: D = 6^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16
• Корни: x = (-6 ± √16) / 2 = (-6 ± 4) / 2
• Получаем x1 = -1 и x2 = -5

Шаг 3: Интервалы монотонности

Теперь определим знаки производной на интервалах, заданных критическими точками:

• Интервалы: (-∞, -5), (-5, -1), (-1, +∞)
• Выбираем тестовые точки: x = -6, x = -3, x = 0
• f'(-6) = 3(-6)^2 + 18(-6) + 15 > 0 (функция возрастает)
• f'(-3) = 3(-3)^2 + 18(-3) + 15 < 0 (функция убывает)
• f'(0) = 3(0)^2 + 18(0) + 15 > 0 (функция возрастает)

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -5) и (-1, +∞) и убывает на интервале (-5, -1).

Шаг 4: Нахождение экстремумов

Теперь мы можем определить, где находятся экстремумы:

• На x = -5 - локальный максимум
• На x = -1 - локальный минимум

Шаг 5: Нахождение второй производной

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить выпуклость и вогнутость:

• f''(x) = 6x + 18

Шаг 6: Определение точек перегиба

Приравниваем вторую производную к нулю:

• 6x + 18 = 0
• x = -3

Теперь определим интервалы выпуклости и вогнутости:

• Интервалы: (-∞, -3) (выпуклая), (-3, +∞) (вогнутая)

Шаг 7: Применение к другим функциям

Теперь, когда вы знаете, как это делать, вы можете повторить те же шаги для следующих функций:

• f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5
• f(x) = x^3 - 12x^2 + 7x - 3
• f(x) = (1/3)x^3 - 7x^2 + 48x - 12
• f(x) = x^3 + 9x^2 - 7x - 2

Примените тот же алгоритм: найдите первую и вторую производные, определите критические точки, интервалы монотонности и выпуклости. Удачи!