Как определить координаты точки минимума функции y=(7-x)*e^(7-x)?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций координаты точки минимума функция y=(7-x)*e^(7-x) алгебра 11 класс нахождение минимума функции задачи на минимум функции Новый

Для нахождения координат точки минимума функции y = (7 - x) * e^(7 - x) необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции y по x. Для этого используем правило произведения и правило дифференцирования экспоненциальной функции. Обозначим:

• u = (7 - x)
• v = e^(7 - x)

Тогда производная y будет:

y' = u'v + uv'

где:

• u' = -1 (производная от (7 - x))
• v' = e^(7 - x) * (-1) = -e^(7 - x) (производная от e^(7 - x))

Подставляем значения:

y' = (-1) * e^(7 - x) + (7 - x) * (-e^(7 - x)) = -e^(7 - x) - (7 - x)e^(7 - x)

Соберем все в одну формулу:

y' = -e^(7 - x) * (1 + (7 - x)) = -e^(7 - x) * (8 - x)

Шаг 2: Найти критические точки

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

-e^(7 - x) * (8 - x) = 0

Так как e^(7 - x) никогда не равен нулю, то мы можем упростить уравнение до:

8 - x = 0

Отсюда получаем:

x = 8

Шаг 3: Проверка на минимум

Теперь нужно проверить, является ли эта точка минимумом. Для этого можно использовать второй производный тест или исследовать знак первой производной. Найдем вторую производную:

y'' = d/dx(-e^(7 - x) * (8 - x))

Используем правило произведения:

y'' = -((7 - x)e^(7 - x) + e^(7 - x)(-1)) = e^(7 - x)(7 - x - 1) = e^(7 - x)(6 - x)

Теперь подставим x = 8 в y'':

y''(8) = e^(7 - 8)(6 - 8) = e^(-1)(-2) < 0

Поскольку вторая производная отрицательна, это указывает на то, что в точке x = 8 находится максимум.

Шаг 4: Проверка на минимум с помощью интервалов

Теперь проверим, как ведет себя первая производная:

• Для x < 8, y' > 0 (функция возрастает)
• Для x > 8, y' < 0 (функция убывает)

Таким образом, x = 8 является точкой максимума, а не минимума.

Шаг 5: Определение координат точки минимума

Для нахождения точек минимума, нужно исследовать границы области определения функции. Так как функция y = (7 - x)e^(7 - x) убывает на интервале (7, +∞), то минимальное значение будет достигнуто при x = +∞. Однако, если мы ограничиваемся областью, например, [0, 7], то минимум будет на границе.

Подводя итог, мы можем сказать:

• Координаты точки максимума: (8, y(8))
• Минимум функции в области [0, 7] будет достигнут при x = 7, где y = 0.

Таким образом, окончательные координаты точки минимума функции y = (7 - x)e^(7 - x) в интервале [0, 7] - это (7, 0).