Как определить максимальное и минимальное значение функции:

 

f(x)=x^3-2x^2-4x+2 на интервале {-1;1}?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальное значение функции минимальное значение функции определение экстремумов алгебра 11 класс интервал {-1;1} функция f(x)=x^3-2x^2-4x+2 Новый

Чтобы определить максимальное и минимальное значение функции f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 2 на заданном интервале {-1; 1}, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).

Производная функции поможет нам найти критические точки, где функция может принимать максимальные или минимальные значения. Находим производную:

f'(x) = 3x^2 - 4x - 4.

2. Найти критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

3x^2 - 4x - 4 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * (-4) = 16 + 48 = 64.

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня:

x1 = (4 + √64) / (2 * 3) = (4 + 8) / 6 = 12 / 6 = 2,

x2 = (4 - √64) / (2 * 3) = (4 - 8) / 6 = -4 / 6 = -2/3.

3. Определить, какие из критических точек находятся в интервале {-1; 1}.

Критические точки: x1 = 2 (не входит в интервал) и x2 = -2/3 (входит в интервал).

4. Найти значения функции в критических точках и на границах интервала.

Теперь нам нужно вычислить значения функции f(x) в критической точке и на границах интервала:

• f(-1) = (-1)^3 - 2*(-1)^2 - 4*(-1) + 2 = -1 - 2 + 4 + 2 = 3.
• f(-2/3) = (-2/3)^3 - 2*(-2/3)^2 - 4*(-2/3) + 2 = -8/27 - 8/9 + 8/3 + 2 = -8/27 - 24/27 + 72/27 + 54/27 = 94/27 ≈ 3.48.
• f(1) = (1)^3 - 2*(1)^2 - 4*(1) + 2 = 1 - 2 - 4 + 2 = -3.
5. Сравнить все найденные значения.

Теперь сравним значения:

• f(-1) = 3,
• f(-2/3) ≈ 3.48,
• f(1) = -3.
6. Определить максимальное и минимальное значение функции.

Из полученных значений видно, что:

• Максимальное значение функции на интервале {-1; 1} равно f(-2/3) ≈ 3.48.
• Минимальное значение функции на интервале {-1; 1} равно f(1) = -3.

Таким образом, максимальное значение функции f(x) на интервале {-1; 1} равно примерно 3.48, а минимальное значение равно -3.