Чтобы определить максимальное и минимальное значение функции y = 5 + 12x - x^3 на заданном интервале [-3; -1], нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Сначала найдем производную функции y по x, чтобы определить критические точки.
2. Рассчитать производную: Производная функции y = 5 + 12x - x^3 равна:
   • y' = 12 - 3x^2
3. Найти критические точки: Установим производную равной нулю и решим уравнение:
   • 12 - 3x^2 = 0
   • 3x^2 = 12
   • x^2 = 4
   • x = ±2
4. Определить, какие из критических точек находятся в интервале: Мы нашли x = 2 и x = -2. Из этих значений только x = -2 попадает в интервал [-3; -1].
5. Вычислить значения функции в критических точках и на границах интервала: Теперь мы должны вычислить значения функции y в точках -3, -2 и -1:
   • y(-3) = 5 + 12(-3) - (-3)^3 = 5 - 36 + 27 = -4
   • y(-2) = 5 + 12(-2) - (-2)^3 = 5 - 24 + 8 = -11
   • y(-1) = 5 + 12(-1) - (-1)^3 = 5 - 12 + 1 = -6
6. Сравнить значения: Теперь сравним полученные значения:
   • y(-3) = -4
   • y(-2) = -11
   • y(-1) = -6
7. Определить максимальное и минимальное значения: Из этих значений видно, что:
   • Максимальное значение функции на интервале [-3; -1] равно -4 (при x = -3).
   • Минимальное значение функции на интервале [-3; -1] равно -11 (при x = -2).

Таким образом, максимальное значение функции на интервале [-3; -1] равно -4, а минимальное значение равно -11.