Как определить максимальное значение функции f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 29 на интервале [-1; 4]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальное значение функции определение максимума алгебра 11 класс функция f(x) интервал [-1; 4] анализ функции экстремумы функции Новый

Чтобы определить максимальное значение функции f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 29 на заданном интервале [-1; 4], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x). Это поможет нам определить критические точки, где функция может достигать максимума или минимума.

Производная функции f(x) будет:

f'(x) = -3x^2 + 6x + 9

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю. Для этого решим уравнение:

-3x^2 + 6x + 9 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 3, b = -6, c = -9.

Сначала найдем дискриминант:

D = (-6)^2 - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144.

Теперь подставим значения в формулу:

x = (6 ± √144) / 6 = (6 ± 12) / 6.

Это дает два решения:

x1 = (6 + 12) / 6 = 3 и x2 = (6 - 12) / 6 = -1.

3. Определить значения функции на критических точках и на границах интервала. Мы уже нашли критические точки x = 3 и x = -1. Теперь вычислим значения функции f(x) в этих точках и на границах интервала:

Теперь подставим значения в функцию:

• f(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1)^2 + 9*(-1) - 29 = 1 + 3 - 9 - 29 = -34.
• f(3) = -(3)^3 + 3*(3)^2 + 9*(3) - 29 = -27 + 27 + 27 - 29 = -2.
• f(4) = -(4)^3 + 3*(4)^2 + 9*(4) - 29 = -64 + 48 + 36 - 29 = -9.

4. Сравнить все найденные значения функции. Мы получили следующие значения:

• f(-1) = -34
• f(3) = -2
• f(4) = -9

Теперь сравним их:

Наибольшее значение среди -34, -2 и -9 — это -2.

Таким образом, максимальное значение функции f(x) на интервале [-1; 4] равно -2 и достигается в точке x = 3.