Как определить минимальные и максимальные значения функции: f(x)=x^3-6x^2+5?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций минимальные значения функции максимальные значения функции f(x)=x^3-6x^2+5 алгебра 11 класс нахождение экстремумов функции Новый

Чтобы определить минимальные и максимальные значения функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 5, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции.

Сначала находим первую производную функции f(x). Производная поможет нам найти критические точки, где функция может принимать свои максимальные или минимальные значения.

• f'(x) = 3x^2 - 12x.

Шаг 2: Найти критические точки.

Теперь мы должны найти критические точки, приравняв производную к нулю:

• 3x^2 - 12x = 0.

Решим это уравнение:

• 3x(x - 4) = 0.
• x = 0 или x = 4.

Шаг 3: Определить интервалы для проверки.

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 4. Эти точки делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, 0)
• (0, 4)
• (4, +∞)

Мы будем проверять знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 4: Проверить знак производной на интервалах.

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1:
• f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 (положительно).
• Для интервала (0, 4) возьмем x = 2:
• f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 (отрицательно).
• Для интервала (4, +∞) возьмем x = 5:
• f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 (положительно).

Шаг 5: Определить тип критических точек.

Теперь можем сделать выводы:

• На интервале (-∞, 0) производная положительна, значит, функция возрастает.
• На интервале (0, 4) производная отрицательна, значит, функция убывает.
• На интервале (4, +∞) производная снова положительна, значит, функция возрастает.

Таким образом, в точке x = 0 функция имеет максимум, а в точке x = 4 - минимум.

Шаг 6: Найти значения функции в критических точках.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• f(0) = 0^3 - 6*0^2 + 5 = 5 (максимум).
• f(4) = 4^3 - 6*4^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27 (минимум).

Итак, окончательные результаты:

• Максимальное значение функции: 5 при x = 0.
• Минимальное значение функции: -27 при x = 4.