Как определить область определения функции для следующих выражений:

1. y=log8(x^2-3x-4)
2. y=log√3(-x^2+5x+6)

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции логарифм алгебра 11 класс выражения x^2-3x-4 -x^2+5x+6 Новый

Чтобы определить область определения функций, содержащих логарифмы, необходимо учитывать, что аргумент логарифма должен быть положительным. Это значит, что мы должны решить неравенства, чтобы найти допустимые значения переменной.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция: y = log8(x^2 - 3x - 4)

• Сначала находим, когда аргумент логарифма, то есть x^2 - 3x - 4, будет больше нуля:
• Решаем неравенство: x^2 - 3x - 4 > 0.
• Для этого сначала найдем корни уравнения x^2 - 3x - 4 = 0 с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25.
• Корни: x1 = (3 + √25)/2 = 4 и x2 = (3 - √25)/2 = -1.
• Теперь мы имеем корни x1 = 4 и x2 = -1. Разделим числовую прямую на интервалы:
• (-∞, -1)
• (-1, 4)
• (4, +∞)
• Теперь проверим знак функции в каждом интервале:
• Для x < -1 (например, x = -2): (-2)^2 - 3*(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.
• Для -1 < x < 4 (например, x = 0): 0^2 - 3*0 - 4 = -4 < 0.
• Для x > 4 (например, x = 5): 5^2 - 3*5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.
• Таким образом, функция положительна на интервалах (-∞, -1) и (4, +∞).

Итак, область определения первой функции: x ∈ (-∞, -1) ∪ (4, +∞).

2. Функция: y = log√3(-x^2 + 5x + 6)

• Аналогично, сначала найдем, когда аргумент логарифма, то есть -x^2 + 5x + 6, будет больше нуля:
• Решаем неравенство: -x^2 + 5x + 6 > 0.
• Перепишем это неравенство как x^2 - 5x - 6 < 0.
• Теперь найдем корни уравнения x^2 - 5x - 6 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = (-5)^2 - 4*1*(-6) = 25 + 24 = 49.
• Корни: x1 = (5 + √49)/2 = 6 и x2 = (5 - √49)/2 = -1.
• Теперь у нас есть корни x1 = 6 и x2 = -1. Разделим числовую прямую на интервалы:
• (-∞, -1)
• (-1, 6)
• (6, +∞)
• Теперь проверим знак функции в каждом интервале:
• Для x < -1 (например, x = -2): (-2)^2 - 5*(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0.
• Для -1 < x < 6 (например, x = 0): 0^2 - 5*0 - 6 = -6 < 0.
• Для x > 6 (например, x = 7): 7^2 - 5*7 - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0.
• Таким образом, функция положительна на интервалах (-∞, -1) и (6, +∞).

Итак, область определения второй функции: x ∈ (-∞, -1) ∪ (6, +∞).