Как определить область определения функции log 0,5 (5x - x в квадрате - 4)?

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции логарифм алгебра 11 класс функции решение уравнений графики функций Новый

Чтобы определить область определения функции log_0.5(5x - x² - 4), необходимо учитывать несколько важных моментов, связанных с логарифмами и квадратичными уравнениями.

Логарифм определен только для положительных аргументов. Это значит, что выражение, стоящее внутри логарифма, должно быть больше нуля:

1. Запишем неравенство:

5x - x² - 4 > 0

2. Перепишем это неравенство в стандартной форме:

-x² + 5x - 4 > 0

3. Умножим обе стороны на -1 (не забываем изменить знак неравенства):

x² - 5x + 4 < 0

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

1. Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 4.

2. Подставим значения:

x = (5 ± √((-5)² - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1)

x = (5 ± √(25 - 16)) / 2

x = (5 ± √9) / 2

x = (5 ± 3) / 2

3. Таким образом, получаем два корня:
• x₁ = (5 + 3) / 2 = 4
• x₂ = (5 - 3) / 2 = 1

Теперь у нас есть корни x = 1 и x = 4. Эти корни делят числовую прямую на три промежутка:

• (-∞, 1)
• (1, 4)
• (4, +∞)

Теперь нужно определить знак выражения x² - 5x + 4 на каждом из этих промежутков:

1. Для промежутка (-∞, 1):

Выберем, например, x = 0:

0² - 5*0 + 4 = 4 > 0 (положительно)

2. Для промежутка (1, 4):

Выберем, например, x = 2:

2² - 5*2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 (отрицательно)

3. Для промежутка (4, +∞):

Выберем, например, x = 5:

5² - 5*5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 (положительно)

Таким образом, мы можем сделать вывод о знаках на промежутках:

• (-∞, 1) - положительно
• (1, 4) - отрицательно
• (4, +∞) - положительно

Поскольку нас интересует, где выражение x² - 5x + 4 меньше нуля, область определения функции log_0.5(5x - x² - 4) будет:

(1, 4)

Таким образом, область определения функции log_0.5(5x - x² - 4) - это интервал (1, 4).