Как определить первообразную для функции f(x) = 4x^3 + 8x - 2, если известно, что график этой функции проходит через точку A(1; 3)?

Алгебра 11 класс Определенный интеграл и первообразные определение первообразной функция f(x) график функции точка A(1; 3) алгебра 11 класс интегралы нахождение первообразной Новый

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 4x^3 + 8x - 2, мы будем интегрировать эту функцию. Первоначально запишем шаги, которые необходимо выполнить:

1. Интегрирование функции: Мы найдем неопределенный интеграл функции f(x).
2. Добавление произвольной константы: После интегрирования мы добавим произвольную константу C, так как первообразная не является единственной.
3. Использование точки A(1; 3): Подставим координаты точки A в полученную первообразную, чтобы найти значение константы C.

Теперь давайте подробно рассмотрим каждый шаг.

Шаг 1: Интегрирование функции

Мы находим неопределенный интеграл:

∫(4x^3 + 8x - 2) dx.

Теперь интегрируем каждый член по отдельности:

• ∫4x^3 dx = (4/4)x^4 = x^4,
• ∫8x dx = (8/2)x^2 = 4x^2,
• ∫(-2) dx = -2x.

Соберем все вместе:

∫(4x^3 + 8x - 2) dx = x^4 + 4x^2 - 2x + C,

где C - произвольная константа.

Шаг 2: Добавление произвольной константы

Теперь у нас есть первообразная:

F(x) = x^4 + 4x^2 - 2x + C.

Шаг 3: Использование точки A(1; 3)

Мы знаем, что график функции проходит через точку A(1; 3), что означает, что F(1) = 3. Подставим x = 1 в нашу первообразную:

F(1) = (1)^4 + 4(1)^2 - 2(1) + C = 1 + 4 - 2 + C = 3 + C.

Теперь приравняем это к 3:

3 + C = 3.

Решим это уравнение:

C = 3 - 3 = 0.

Таким образом, мы нашли значение константы C. Теперь можем записать окончательную форму первообразной:

F(x) = x^4 + 4x^2 - 2x.

Это и есть первообразная функции f(x) = 4x^3 + 8x - 2, которая проходит через точку A(1; 3).