Как определить точку максимума для функции 4x^3 - 16x = 0?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций определение точки максимума функция 4x^3 - 16x алгебра 11 класс производная функции решение уравнения анализ функции экстремумы функции Новый

Чтобы определить точку максимума функции f(x) = 4x^3 - 16x, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдите производную функции.

Сначала найдем первую производную функции f(x). Производная показывает, как изменяется функция, и ее нули помогут нам найти точки экстремума.

f'(x) = d/dx (4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16.

Шаг 2: Найдите критические точки.

Для нахождения критических точек, приравняем первую производную к нулю:

12x^2 - 16 = 0.

Решим это уравнение:

• 12x^2 = 16
• x^2 = 16/12 = 4/3
• x = ±√(4/3) = ±(2/√3) = ±(2√3/3).

Шаг 3: Найдите вторую производную.

Теперь найдем вторую производную функции f(x) для определения характера критических точек:

f''(x) = d/dx (12x^2 - 16) = 24x.

Шаг 4: Определите характер критических точек.

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

• Для x = 2√3/3: f''(2√3/3) = 24 * (2√3/3) = 16√3. Это значение положительное, значит, в этой точке функция имеет минимум.
• Для x = -2√3/3: f''(-2√3/3) = 24 * (-2√3/3) = -16√3. Это значение отрицательное, значит, в этой точке функция имеет максимум.

Шаг 5: Найдите значение функции в точке максимума.

Теперь подставим x = -2√3/3 в исходную функцию, чтобы найти значение функции в точке максимума:

f(-2√3/3) = 4(-2√3/3)^3 - 16(-2√3/3).

Вычислим это значение, чтобы получить окончательный ответ.

Итак, мы нашли, что функция имеет максимум в точке x = -2√3/3.