Как определить точку минимума функции y=x-ln(x+6)+3 и что представляет собой ln?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций точка минимума функция y=x-ln(x+6)+3 LN определение ln алгебра 11 класс задачи по алгебре нахождение минимума функции Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = x - ln(x + 6) + 3, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и ее анализом.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала найдем производную функции y по x. Используем правило производной для суммы и производной натурального логарифма:

• Производная x равна 1.
• Производная ln(x + 6) равна 1/(x + 6) по правилу производной логарифма.

Таким образом, производная функции y будет:

y' = 1 - 1/(x + 6).

Шаг 2: Найдем критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

1 - 1/(x + 6) = 0.

Решим это уравнение:

• 1 = 1/(x + 6),
• x + 6 = 1,
• x = 1 - 6 = -5.

Шаг 3: Проверим, является ли эта точка минимумом

Теперь нужно проверить, является ли x = -5 точкой минимума. Для этого рассмотрим вторую производную функции:

y'' = 0 + 1/(x + 6)^2.

Так как (x + 6)^2 всегда положительно для всех x, то y'' > 0 при x = -5. Это означает, что функция имеет минимум в этой точке.

Шаг 4: Находим значение функции в точке минимума

Теперь подставим x = -5 в исходную функцию, чтобы найти значение y:

y = -5 - ln(-5 + 6) + 3 = -5 - ln(1) + 3 = -5 + 0 + 3 = -2.

Итак, точка минимума функции y = x - ln(x + 6) + 3 находится в точке (-5, -2).

Что такое ln?

ln обозначает натуральный логарифм. Это логарифм по основанию e, где e - это математическая константа, примерно равная 2.71828. Натуральный логарифм используется в различных областях математики и науки, особенно в задачах, связанных с ростом, распадом и другими процессами, которые описываются экспоненциальными функциями.