Как определить все действительные значения х, которые удовлетворяют неравенству √(3 - х) - √(х + 1) > 1/2?

Алгебра 11 класс Неравенства с корнями неравенство действительные значения алгебра 11 класс √(3 - х) √(х + 1) решение неравенств математический анализ х > 1/2 Новый

Чтобы решить неравенство √(3 - х) - √(х + 1) > 1/2, следуем следующему алгоритму:

1. Определим область допустимых значений.

   Сначала необходимо определить, при каких значениях х подкоренные выражения являются действительными. Это означает, что:

   • 3 - х ≥ 0, откуда х ≤ 3;
   • х + 1 ≥ 0, откуда х ≥ -1.

   Таким образом, область допустимых значений будет: -1 ≤ х ≤ 3.

2. Перепишем неравенство.

   Перепишем неравенство, добавив √(х + 1) к обеим сторонам:

   √(3 - х) > √(х + 1) + 1/2.

3. Квадратим обе стороны неравенства.

   Для того чтобы избавиться от корней, мы можем возвести обе стороны в квадрат. Однако нужно помнить, что при этом мы должны проверить, что обе стороны не отрицательны:

   (√(3 - х))^2 > (√(х + 1) + 1/2)^2.

   Это дает нам:

   3 - х > (х + 1) + 2 * (√(х + 1) * 1/2) + 1/4.

   Упрощаем это неравенство:

   3 - х > х + 1 + √(х + 1) + 1/4.

   3 - х > х + 1 + √(х + 1) + 0.25.

   Теперь соберем все члены с х в одну сторону:

   3 - 1 - 0.25 > 2х + √(х + 1).

   Таким образом, мы получаем:

   1.75 > 2х + √(х + 1).

   Или:

   2х + √(х + 1) < 1.75.

4. Решаем полученное неравенство.

   Теперь мы можем выразить √(х + 1):

   √(х + 1) < 1.75 - 2х.

   Квадратим обе стороны:

   х + 1 < (1.75 - 2х)^2.

   Раскроем скобки:

   х + 1 < 3.0625 - 7х + 4х^2.

   Соберем все в одну сторону:

   4х^2 - 8х + 2.0625 > 0.

5. Находим корни квадратного уравнения.

   Теперь найдем корни уравнения 4х^2 - 8х + 2.0625 = 0 с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * 2.0625 = 64 - 32.5 = 31.5.

   Корни будут:

   х1 = (8 + √31.5) / 8, х2 = (8 - √31.5) / 8.

6. Определяем интервалы.

   Теперь мы можем использовать полученные корни для определения интервалов, на которых неравенство выполняется. Мы проверяем знаки на каждом интервале.

7. Проверяем границы.

   Также не забудьте проверить границы области допустимых значений (-1 и 3).

После всех этих шагов вы сможете найти все действительные значения х, удовлетворяющие исходному неравенству. Не забудьте сделать окончательную проверку найденных значений в исходном неравенстве.