Для того чтобы построить график функции y = arcsin(x - 1) + 2 и исследовать её на монотонность, мы выполним следующие шаги:

1. Определим область определения функции.
   • Функция arcsin(x) определена только для аргументов от -1 до 1. Следовательно, для функции arcsin(x - 1) необходимо, чтобы:
   • -1 ≤ x - 1 ≤ 1.
   • Решая это неравенство, получаем: 0 ≤ x ≤ 2.
2. Найдем производную функции для исследования монотонности.
   • Наша функция имеет вид: y = arcsin(x - 1) + 2.
   • Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования для функции arcsin(x):
   • dy/dx = (1 / sqrt(1 - (x - 1)²)) * (1).
   • Таким образом, производная функции будет равна:
   • dy/dx = 1 / sqrt(1 - (x - 1)²).
3. Исследуем производную на знаки.
   • Область определения производной: необходимо, чтобы выражение под корнем было больше нуля:
   • 1 - (x - 1)² > 0.
   • Решая это неравенство, получаем: -1 < x - 1 < 1, что в свою очередь приводит к 0 < x < 2.
   • Таким образом, производная положительна на промежутке (0, 2), что означает, что функция y = arcsin(x - 1) + 2 возрастает на этом интервале.
4. Найдем значения функции на границах области определения.
   • При x = 0: y = arcsin(0 - 1) + 2 = arcsin(-1) + 2 = -π/2 + 2.
   • При x = 2: y = arcsin(2 - 1) + 2 = arcsin(1) + 2 = π/2 + 2.
5. Построим график функции.
   • Находим несколько дополнительных точек для более точного графика, например, при x = 1:
   • y = arcsin(1 - 1) + 2 = arcsin(0) + 2 = 0 + 2 = 2.
   • Теперь у нас есть точки: (0, -π/2 + 2), (1, 2), (2, π/2 + 2).
   • График будет представлять собой плавную кривую, которая возрастает от точки (0, -π/2 + 2) до точки (2, π/2 + 2).

Таким образом, мы исследовали функцию y = arcsin(x - 1) + 2 на монотонность и построили её график. Функция возрастает на интервале [0, 2].