Как провести исследование функции и построить ее график для выражения y=x^2/(x-3)? Пожалуйста, объясните подробно, как это сделать.

Алгебра 11 класс Исследование функции и построение графика функции исследование функции построение графика алгебра 11 класс y=x^2/(x-3) анализ функции свойства функции график параболы асимптоты нули функции поведение функции математическое моделирование Новый

Исследование функции и построение ее графика — это важные шаги в понимании поведения функции. Давайте рассмотрим функцию y = x^2 / (x - 3) и проведем ее исследование.

Шаг 1: Определение области определения

Сначала найдем область определения функции. Функция будет определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

• Решим уравнение: x - 3 = 0.
• Получаем: x = 3.

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 3.

Шаг 2: Нахождение вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где функция не определена. В нашем случае это x = 3. При приближении к этой точке функция стремится к бесконечности:

• При x → 3- (слева) y → -∞.
• При x → 3+ (справа) y → +∞.

Шаг 3: Нахождение горизонтальных асимптот

Теперь определим горизонтальные асимптоты. Для этого рассмотрим поведение функции при x → ±∞.

• При x → +∞: y = x^2 / (x - 3) ≈ x (поскольку x^2 доминирует над x). Следовательно, y → +∞.
• При x → -∞: y = x^2 / (x - 3) ≈ -x. Следовательно, y → -∞.

Таким образом, горизонтальных асимптот нет.

Шаг 4: Нахождение производной

Для анализа функции найдем производную, чтобы определить критические точки и интервалы возрастания/убывания.

• Используем правило деления для нахождения производной:
• y' = ( (x - 3) * 2x - x^2 * 1 ) / (x - 3)^2.
• Упрощаем: y' = (2x^2 - 6x - x^2) / (x - 3)^2 = (x^2 - 6x) / (x - 3)^2.

Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:

• x^2 - 6x = 0.
• x(x - 6) = 0.
• Критические точки: x = 0 и x = 6.

Шаг 5: Анализ знака производной

Теперь определим знак производной на интервалах:

• Интервалы: (-∞, 0), (0, 3), (3, 6), (6, +∞).
• Подставим тестовые точки из каждого интервала в производную:
• Для x = -1: y' > 0 (возрастает).
• Для x = 1: y' < 0 (убывает).
• Для x = 4: y' > 0 (возрастает).
• Для x = 7: y' > 0 (возрастает).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞), и убывает на интервале (0, 3).

Шаг 6: Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = 0 / (-3) = 0.
• y(6) = 36 / 3 = 12.

Шаг 7: Построение графика

Теперь, когда у нас есть вся необходимая информация, можно построить график:

• Отметим вертикальную асимптоту в x = 3.
• Отметим критические точки: (0, 0) и (6, 12).
• Проведем линии, указывая на интервалы возрастания и убывания.

График будет представлять собой параболу, которая стремится к бесконечности при приближении к вертикальной асимптоте и имеет точки минимума и максимума в найденных критических точках.

Таким образом, мы провели полное исследование функции y = x^2 / (x - 3) и построили ее график. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!