Давайте проведем исследование каждой из функций по общей схеме и построим их графики. Мы будем рассматривать следующие шаги: определение области определения, нахождение нулей функции, исследование знака функции, нахождение производной и анализ ее знаков, а также построение графиков.

1. Исследование функции f(x) = x + 4x²

• Область определения: Все действительные числа R.
• Нули функции: Для нахождения нулей решим уравнение x + 4x² = 0. Факторизуем: x(1 + 4x) = 0. Нули: x = 0, x = -1/4.
• Знак функции: Исследуем знак на интервалах (-∞, -1/4), (-1/4, 0) и (0, +∞). Функция положительна на (-1/4, +∞) и отрицательна на (-∞, -1/4).
• Производная: f'(x) = 1 + 8x. Найдем критические точки: f'(x) = 0 => x = -1/8. Исследуем знак производной: f'(-1/8) < 0, f'(-1/4) > 0, f'(0) > 0.
• График: Функция имеет минимум в точке x = -1/8. Построим график, учитывая найденные точки.

2. Исследование функции f(x) = 1 - √(x + 4)

• Область определения: x + 4 ≥ 0, т.е. x ≥ -4.
• Нули функции: Решим уравнение 1 - √(x + 4) = 0 => √(x + 4) = 1 => x + 4 = 1 => x = -3.
• Знак функции: Исследуем знак на интервале [-4, -3] и (-3, +∞). Функция положительна на [-4, -3) и отрицательна на (-3, +∞).
• Производная: f'(x) = -1/(2√(x + 4)). Функция убывает на всей области определения.
• График: Функция имеет максимум в точке x = -3. Построим график.

3. Исследование функции f(x) = x³ + x

• Область определения: Все действительные числа R.
• Нули функции: Решим уравнение x³ + x = 0 => x(x² + 1) = 0. Нули: x = 0.
• Знак функции: Исследуем знак на интервалах (-∞, 0), (0, +∞). Функция отрицательна на (-∞, 0) и положительна на (0, +∞).
• Производная: f'(x) = 3x² + 1. Производная всегда положительна, следовательно, функция возрастает на всей области.
• График: Построим график, учитывая, что функция имеет минимум в точке x = 0.

4. Исследование функции f(x) = √(√x - 2) - 2

• Область определения: √x - 2 ≥ 0, т.е. x ≥ 4.
• Нули функции: Решим уравнение √(√x - 2) - 2 = 0 => √(√x - 2) = 2 => √x - 2 = 4 => √x = 6 => x = 36.
• Знак функции: Исследуем знак на интервале [4, 36] и (36, +∞). Функция отрицательна на [4, 36) и положительна на (36, +∞).
• Производная: Найдем производную и исследуем ее знак. Это может быть немного сложнее, но в основном функция будет убывать до точки x = 36 и возрастать после.
• График: Построим график, учитывая найденные точки.

5. Исследование функции f(x) = x² - 2|x| + 1

• Область определения: Все действительные числа R.
• Нули функции: Для x ≥ 0: x² - 2x + 1 = 0 => (x - 1)² = 0 => x = 1. Для x < 0: x² + 2x + 1 = 0 => (x + 1)² = 0 => x = -1.
• Знак функции: Исследуем знак на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞).
• Производная: f'(x) = 2x - 2 для x ≥ 0 и f'(x) = 2x + 2 для x < 0. Исследуем знаки производной.
• График: Построим график, учитывая найденные точки.

6. Исследование функции f(x) = x - x²

• Область определения: Все действительные числа R.
• Нули функции: Решим уравнение x - x² = 0 => x(1 - x) = 0. Нули: x = 0, x = 1.
• Знак функции: Исследуем знак на интервалах (-∞, 0), (0, 1) и (1, +∞). Функция положительна на (0, 1) и отрицательна на (-∞, 0) и (1, +∞).
• Производная: f'(x) = 1 - 2x. Найдем критические точки: f'(x) = 0 => x = 1/2. Исследуем знак производной.
• График: Построим график, учитывая найденные точки.

7. Исследование функции f(x) = 2x + 1

• Область определения: Все действительные числа R.
• Нули функции: Решим уравнение 2x + 1 = 0 => x = -1/2.
• Знак функции: Функция положительна при x > -1/2 и отрицательна при x < -1/2.
• Производная: f'(x) = 2. Функция всегда возрастает.
• График: Построим график, учитывая, что это прямая линия.

После выполнения всех шагов для каждой функции, мы можем построить графики, используя найденные точки и свойства функций. Убедитесь, что вы используете правильные масштабы на графиках для лучшего отображения.