2025-10-31 20:48:20
Как провести полное исследование указанных функций и построить их графики?
- y = (x^2 - 2x + 2) / (x - 1)
- y = (x + 1) / (x - 1)^2
- y = e^(1/(5 + x))
- y = x / (9 - x)
- y = (4x - x^2 - 4) / x
- y = x^2 / (4x^2 - 1)
- y = ln(x) / √x
- y = x + ln(x) / x
- y = x - ln(1 + x^2)
- y = x^3 / (x^2 - x + 1)
- y = x^2 - 2ln(x)
- y = x^3e^(-x^2/2)
- y = (x^2 - x - 1) / (x^2 - 2x)
- y = (x - 2)^2 / (x + 1)
Алгебра 11 класс Полное исследование функций и построение их графиков алгебра 11 класс исследование функций построение графиков графики функций функции алгебры полное исследование функций математические функции анализ функций графическое представление функции дробного вида экспоненциальные функции логарифмические функции Новый
2025-10-31 20:49:04
Чтобы провести полное исследование указанных функций и построить их графики, необходимо выполнить несколько шагов, которые помогут понять поведение каждой функции. Давайте рассмотрим общий план действий:
- Определение области определения функции: необходимо выяснить, для каких значений x функция имеет смысл.
- Нахождение пределов: важно определить, как ведет себя функция при стремлении x к границам области определения и к бесконечности.
- Нахождение производной: это поможет определить интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.
- Нахождение вторичной производной: это необходимо для определения выпуклости и вогнутости графика функции.
- Нахождение значений функции в ключевых точках: следует вычислить значения функции в точках, которые могут быть интересны для построения графика.
- Построение графика функции: на основе полученных данных можно нарисовать график функции.
Теперь давайте применим этот алгоритм к каждой из предложенных функций.
1. y = (x^2 - 2x + 2) / (x - 1)
- Область определения: x ≠ 1.
- Пределы: lim (x → 1) y = ∞, lim (x → ±∞) y = ∞.
- Производная: y' = (2(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)) / (x - 1)^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
2. y = (x + 1) / (x - 1)^2
- Область определения: x ≠ 1.
- Пределы: lim (x → 1) y = ∞, lim (x → ±∞) y = 0.
- Производная: y' = ((x - 1)^2 - 2(x + 1)(x - 1)) / (x - 1)^4.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
3. y = e^(1/(5 + x))
- Область определения: x > -5.
- Пределы: lim (x → -5) y = e^(-∞) = 0, lim (x → ∞) y = e^0 = 1.
- Производная: y' = -e^(1/(5 + x)) / (5 + x)^2.
- Экстремумы: y' < 0, функция убывает.
- График: строим на основе найденных данных.
4. y = x / (9 - x)
- Область определения: x ≠ 9.
- Пределы: lim (x → 9) y = ∞, lim (x → ±∞) y = -1.
- Производная: y' = (9 - x - x) / (9 - x)^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
5. y = (4x - x^2 - 4) / x
- Область определения: x ≠ 0.
- Пределы: lim (x → 0) y = ∞, lim (x → ±∞) y = -∞.
- Производная: y' = (x(4 - 2x) - (4x - x^2 - 4)) / x^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
6. y = x^2 / (4x^2 - 1)
- Область определения: x ≠ ±0.5.
- Пределы: lim (x → ±0.5) y = ∞, lim (x → ±∞) y = 0.
- Производная: y' = (8x(4x^2 - 1) - 2x^2(8x)) / (4x^2 - 1)^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
7. y = ln(x) / √x
- Область определения: x > 0.
- Пределы: lim (x → 0) y = -∞, lim (x → ∞) y = 0.
- Производная: y' = (1/√x - ln(x)/(2x√x)) / x.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
8. y = x + ln(x) / x
- Область определения: x > 0.
- Пределы: lim (x → 0) y = ∞, lim (x → ∞) y = ∞.
- Производная: y' = 1 - (ln(x) - 1)/x^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
9. y = x - ln(1 + x^2)
- Область определения: x ∈ R.
- Пределы: lim (x → ±∞) y = ∞.
- Производная: y' = 1 - (2x)/(1 + x^2).
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
10. y = x^3 / (x^2 - x + 1)
- Область определения: x ∈ R.
- Пределы: lim (x → ±∞) y = ∞.
- Производная: y' = (3x^2(x^2 - x + 1) - x^3(2x - 1))/(x^2 - x + 1)^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
11. y = x^2 - 2ln(x)
- Область определения: x > 0.
- Пределы: lim (x → 0) y = ∞, lim (x → ∞) y = ∞.
- Производная: y' = 2x - (2/x).
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
12. y = x^3e^(-x^2/2)
- Область определения: x ∈ R.
- Пределы: lim (x → ±∞) y = 0.
- Производная: y' = e^(-x^2/2)(3x^2 - x^4).
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
13. y = (x^2 - x - 1) / (x^2 - 2x)
- Область определения: x ≠ 0 и x ≠ 2.
- Пределы: lim (x → 0) y = -1, lim (x → 2) y = ∞, lim (x → ±∞) y = 1.
- Производная: y' = ((2x - 1)(x^2 - 2x) - (x^2 - x - 1)(2x - 2)) / (x^2 - 2x)^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
14. y = (x - 2)^2 / (x + 1)
- Область определения: x ≠ -1.
- Пределы: lim (x → -1) y = ∞, lim (x → ±∞) y = ∞.
- Производная: y' = (2(x - 2)(x + 1) - (x - 2)^2) / (x + 1)^2.
- Экстремумы: решаем y' = 0.
- График: строим на основе найденных данных.
После завершения всех этих шагов для каждой функции вы сможете получить полное представление о ее поведении и построить соответствующий график. Это поможет вам лучше понять, как функции взаимодействуют с различными значениями x и какие у них есть особенности.