Чтобы разложить выражение (1+x)⁷ по формуле бинома, мы будем использовать биномиальную теорему. Она утверждает, что:

(a + b)ⁿ = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k),

где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент, который равен n! / (k! * (n-k)!)
• Σ - знак суммы, который указывает на то, что мы суммируем по всем значениям k от 0 до n
• a и b - это члены выражения, в нашем случае a = 1 и b = x
• n - степень, в нашем случае n = 7

Теперь, подставим наши значения в формулу:

(1 + x)⁷ = Σ (C(7, k) * 1^(7-k) * x^k)

Так как 1^(7-k) всегда равно 1, мы можем упростить выражение:

(1 + x)⁷ = Σ (C(7, k) * x^k)

Теперь нам нужно вычислить биномиальные коэффициенты C(7, k) для k от 0 до 7:

1. C(7, 0) = 1
2. C(7, 1) = 7
3. C(7, 2) = 21
4. C(7, 3) = 35
5. C(7, 4) = 35
6. C(7, 5) = 21
7. C(7, 6) = 7
8. C(7, 7) = 1

Теперь мы можем записать полное разложение:

(1 + x)⁷ = C(7, 0) * x^0 + C(7, 1) * x^1 + C(7, 2) * x^2 + C(7, 3) * x^3 + C(7, 4) * x^4 + C(7, 5) * x^5 + C(7, 6) * x^6 + C(7, 7) * x^7

Подставим значения биномиальных коэффициентов:

(1 + x)⁷ = 1 * x^0 + 7 * x^1 + 21 * x^2 + 35 * x^3 + 35 * x^4 + 21 * x^5 + 7 * x^6 + 1 * x^7

Итак, окончательный ответ:

(1 + x)⁷ = 1 + 7x + 21x² + 35x³ + 35x⁴ + 21x⁵ + 7x⁶ + x⁷