Чтобы решить квадратное тригонометрическое неравенство 2cos²x - 3cosx - 2 > 0, начнем с подстановки. Обозначим cosx как t. Тогда неравенство можно переписать в следующем виде:

2t² - 3t - 2 > 0

Теперь мы имеем стандартное квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

2t² - 3t - 2 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 2, b = -3, c = -2. Подставим значения:

t = (3 ± √((-3)² - 4 * 2 * (-2))) / (2 * 2)

Теперь вычислим дискриминант:

• (-3)² = 9
• 4 * 2 * (-2) = -16
• Дискриминант = 9 + 16 = 25

Теперь подставим дискриминант в формулу:

t = (3 ± √25) / 4

Корни будут:

• t1 = (3 + 5) / 4 = 2
• t2 = (3 - 5) / 4 = -0.5

Теперь у нас есть корни t1 = 2 и t2 = -0.5. Чтобы решить неравенство 2t² - 3t - 2 > 0, нужно определить знаки выражения на интервалах, которые разделены корнями. Эти интервалы:

• (-∞, -0.5)
• (-0.5, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -0.5) возьмем, например, t = -1:
   • 2(-1)² - 3(-1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0
2. Для интервала (-0.5, 2) возьмем, например, t = 0:
   • 2(0)² - 3(0) - 2 = -2 < 0
3. Для интервала (2, +∞) возьмем, например, t = 3:
   • 2(3)² - 3(3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0

Таким образом, неравенство 2t² - 3t - 2 > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -0.5)
• (2, +∞)

Теперь вернемся к переменной cosx. Мы знаем, что t = cosx, следовательно:

• cosx < -0.5
• cosx > 2 (что невозможно, так как косинус не может превышать 1)

Решим неравенство cosx < -0.5. Это происходит в следующих диапазонах:

cosx < -0.5 на интервале:

• x ∈ (2π/3 + 2kπ; 4π/3 + 2kπ), где k - любое целое число.

Таким образом, окончательное решение неравенства 2cos²x - 3cosx - 2 > 0:

x ∈ (2π/3 + 2kπ; 4π/3 + 2kπ), k ∈ Z.

График функции 2cos²x - 3cosx - 2 будет представлять собой параболу, направленную вверх, с корнями в точках -0.5 и 2, и мы ищем участки, где график находится выше оси x.