Для решения неравенства frac{x(1 - x)}{x^2 - 4x + 4} \geqslant 0 давайте сначала упростим его. Начнем с анализа числителя и знаменателя.

Шаг 1: Анализ числителя

Числитель равен x(1 - x). Чтобы найти, когда числитель равен нулю, решим уравнение:

• x = 0
• 1 - x = 0 → x = 1

Таким образом, числитель равен нулю при x = 0 и x = 1.

Шаг 2: Анализ знаменателя

Знаменатель равен x^2 - 4x + 4. Это квадратный трёхчлен, который можно представить в виде:

(x - 2)^2.

Знаменатель равен нулю, когда:

• (x - 2)^2 = 0 → x = 2.

Таким образом, знаменатель равен нулю при x = 2.

Шаг 3: Определение знаков

Теперь мы знаем, что числитель равен нулю при x = 0 и x = 1, а знаменатель равен нулю при x = 2. Эти точки разделяют числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 0)
• (0, 1)
• (1, 2)
• (2, +∞)

Теперь определим знак дроби в каждом из этих интервалов.

1. Для интервала (-∞, 0):
   • Выберем x = -1: (-1)(1 - (-1)) = -1 * 2 = -2 (отрицательный)
   • Знаменатель: (-1 - 2)^2 = 9 (положительный)
   • Дробь: отрицательный / положительный = отрицательный
2. Для интервала (0, 1):
   • Выберем x = 0.5: (0.5)(1 - 0.5) = 0.5 * 0.5 = 0.25 (положительный)
   • Знаменатель: (0.5 - 2)^2 = 2.25 (положительный)
   • Дробь: положительный / положительный = положительный
3. Для интервала (1, 2):
   • Выберем x = 1.5: (1.5)(1 - 1.5) = 1.5 * (-0.5) = -0.75 (отрицательный)
   • Знаменатель: (1.5 - 2)^2 = 0.25 (положительный)
   • Дробь: отрицательный / положительный = отрицательный
4. Для интервала (2, +∞):
   • Выберем x = 3: (3)(1 - 3) = 3 * (-2) = -6 (отрицательный)
   • Знаменатель: (3 - 2)^2 = 1 (положительный)
   • Дробь: отрицательный / положительный = отрицательный

Шаг 4: Составление интервалов

Теперь мы можем составить таблицу знаков:

• (-∞, 0) - отрицательный
• (0, 1) - положительный
• (1, 2) - отрицательный
• (2, +∞) - отрицательный

Теперь определим, где дробь больше или равна нулю. Мы включаем точки, где числитель равен нулю, то есть x = 0 и x = 1, но исключаем x = 2, где знаменатель равен нулю.

Шаг 5: Ответ

Решение неравенства frac{x(1 - x)}{x^2 - 4x + 4} \geqslant 0 будет: [0, 1].