Как решить предел: lim (n -> бесконечность) (1 + 7/(2x)) ^ (-2x)?

Алгебра 11 класс Пределы и бесконечности предел лимит алгебра 11 класс решение предела бесконечность 1 + 7/(2x) (-2x) Новый

Чтобы решить предел lim (n -> бесконечность) (1 + 7/(2x)) ^ (-2x), давайте подробно разберем шаги решения.

Шаг 1: Определим поведение выражения при n, стремящемся к бесконечности.

Сначала заметим, что переменная n в данном пределе не фигурирует, вместо нее у нас есть x. Поэтому мы будем рассматривать предел при x, стремящемся к бесконечности.

Шаг 2: Анализируем выражение внутри предела.

Мы имеем выражение (1 + 7/(2x)) ^ (-2x). При x, стремящемся к бесконечности, дробь 7/(2x) будет стремиться к 0. Поэтому:

• 1 + 7/(2x) будет стремиться к 1.

Шаг 3: Применим известный предел.

Теперь мы можем переписать предел в более удобной форме. Мы знаем, что (1 + 1/n)^n стремится к e при n, стремящемся к бесконечности. Используем это, чтобы преобразовать наше выражение.

Запишем:

• (1 + 7/(2x)) ^ (-2x) = ((1 + 7/(2x))^(2x))^(-1).

Шаг 4: Переход к пределу.

Теперь нам нужно рассмотреть предел (1 + 7/(2x))^(2x) при x, стремящемся к бесконечности:

• lim (x -> бесконечность) (1 + 7/(2x))^(2x).

При стремлении x к бесконечности, 7/(2x) стремится к 0, и мы можем использовать известный предел:

• lim (x -> бесконечность) (1 + 7/(2x))^(2x) = e^(lim (x -> бесконечность) (2x * 7/(2x))) = e^7.

Шаг 5: Возвращаемся к нашему пределу.

Теперь подставим это значение обратно в наш предел:

• lim (x -> бесконечность) (1 + 7/(2x)) ^ (-2x) = (e^7)^(-1) = e^(-7).

Ответ:

Таким образом, предел lim (n -> бесконечность) (1 + 7/(2x)) ^ (-2x) равен e^(-7).