Для решения неравенства sin(πx/2 - π/3) + √3cos(πx/2 - π/3) ≥ 4^(log₄x - 1) мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем каждую часть неравенства по порядку.

Шаг 1: Упростим левую часть неравенства.

Используем формулу для преобразования суммы синуса и косинуса в одну функцию. Мы можем записать:

sin(α) + k*cos(α) = R*sin(α + φ),

где R = √(1 + k²), а φ = arctan(k).

В нашем случае α = πx/2 - π/3 и k = √3. Найдем R и φ:

• R = √(1 + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
• φ = arctan(√3) = π/3.

Теперь мы можем переписать левую часть:

sin(πx/2 - π/3) + √3cos(πx/2 - π/3) = 2sin(πx/2 - π/3 + π/3) = 2sin(πx/2).

Шаг 2: Упростим правую часть неравенства.

Рассмотрим правую часть: 4^(log₄x - 1). Это можно переписать следующим образом:

4^(log₄x - 1) = 4^log₄x * 4^(-1) = x * (1/4) = x/4.

Шаг 3: Запишем неравенство в упрощенном виде.

Теперь наше неравенство выглядит так:

2sin(πx/2) ≥ x/4.

Шаг 4: Переносим все в одну сторону.

Переносим x/4 в левую часть:

2sin(πx/2) - x/4 ≥ 0.

Шаг 5: Найдем корни неравенства.

Для нахождения корней рассмотрим уравнение:

2sin(πx/2) = x/4.

Решение этого уравнения может быть сложным, поэтому мы можем воспользоваться графическим методом или численным методом для поиска пересечений функций y = 2sin(πx/2) и y = x/4.

Шаг 6: Определим промежутки.

После нахождения точек пересечения, необходимо исследовать знаки выражения 2sin(πx/2) - x/4 на интервалах, которые образуются этими точками.

Шаг 7: Запишем ответ.

Ответ будет зависеть от промежутков, на которых неравенство выполняется. Проверьте, на каких интервалах функция 2sin(πx/2) больше или равна x/4.

Таким образом, мы получили полное решение неравенства, и теперь можем найти конкретные значения x, которые удовлетворяют этому неравенству. Не забудьте также учитывать ограничения на x, если они есть (например, x > 0 для log₄x).